Chào các em học sinh yêu quý của lớp 10 Toán! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập rất hay liên quan đến các công thức lượng giác đã học. Cô tin rằng với phương pháp trình bày chi tiết và bám sát sách giáo khoa, tất cả các em đều có thể hiểu và giải quyết bài toán này.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của sin2a, cos2a, tan2a khi biết tana = 2.

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé!

Bước 1: Tính cos2a

Để tính sin2a và cos2a, chúng ta cần tìm giá trị của sina và cosa trước.
Chúng ta có công thức liên hệ giữa tan và cos:
\[ \tan^2 a + 1 = \frac{1}{\cos^2 a} \]
Thay tana = 2 vào công thức trên, ta được:
\[ 2^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 a} \]
\[ 4 + 1 = \frac{1}{\cos^2 a} \]
\[ 5 = \frac{1}{\cos^2 a} \]
Suy ra:
\[ \cos^2 a = \frac{1}{5} \]
Vậy:
\[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Ở đây, chúng ta chưa biết góc a nằm ở góc phần tư nào nên có hai trường hợp cho cos a. Tuy nhiên, khi tính sin2a và cos2a, kết quả cuối cùng thường không phụ thuộc vào dấu của cos a nếu chúng ta sử dụng các công thức phù hợp. Chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn ở các bước sau.

Bước 2: Tính sina

Chúng ta có công thức liên hệ giữa tan và sin:
\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]
Từ đó, ta có:
\[ \sin a = \tan a \cdot \cos a \]
Thay tana = 2 và các giá trị của cos a tìm được ở Bước 1 vào:

Trường hợp 1: cos a = \frac{\sqrt{5}}{5}
\[ \sin a = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Trường hợp 2: cos a = -\frac{\sqrt{5}}{5}
\[ \sin a = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Chúng ta thấy rằng dấu của sin a phụ thuộc vào dấu của cos a. Điều này là hợp lý vì nếu cos a âm thì a nằm ở góc phần tư thứ II hoặc III, và tan a = 2 > 0, suy ra sin a cũng phải âm (góc phần tư thứ III). Nếu cos a dương thì a nằm ở góc phần tư thứ I hoặc IV, và tan a = 2 > 0, suy ra sin a cũng phải dương (góc phần tư thứ I).

Bước 3: Tính sin2a

Chúng ta sử dụng công thức nhân đôi cho sin:
\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]
Thay giá trị của sina và cosa vào công thức này:
\[ \sin 2a = 2 \cdot \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \]
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{2 \cdot (\sqrt{5})^2}{5 \cdot 5} \]
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{2 \cdot 5}{25} \]
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{10}{25} \]
\[ \sin 2a = \frac{20}{25} \]
\[ \sin 2a = \frac{4}{5} \]
Lưu ý: Nếu chúng ta chọn trường hợp cos a = -\frac{\sqrt{5}}{5} và sin a = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, thì kết quả vẫn là:
\[ \sin 2a = 2 \cdot \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = 2 \cdot \frac{10}{25} = \frac{4}{5} \]
Vậy, sin2a = \frac{4}{5}.

Bước 4: Tính cos2a

Chúng ta có nhiều công thức để tính cos2a. Công thức đơn giản nhất khi biết tana là:
\[ \cos 2a = \frac{1 – \tan^2 a}{1 + \tan^2 a} \]
Thay tana = 2 vào công thức này:
\[ \cos 2a = \frac{1 – 2^2}{1 + 2^2} \]
\[ \cos 2a = \frac{1 – 4}{1 + 4} \]
\[ \cos 2a = \frac{-3}{5} \]
Vậy, cos2a = -\frac{3}{5}.

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng công thức khác: cos2a = cos^2 a – sin^2 a
\[ \cos 2a = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 – \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 \]
\[ \cos 2a = \frac{5}{25} – \frac{4 \cdot 5}{25} \]
\[ \cos 2a = \frac{5}{25} – \frac{20}{25} \]
\[ \cos 2a = \frac{-15}{25} \]
\[ \cos 2a = -\frac{3}{5} \]
Kết quả hoàn toàn khớp nhau.

Bước 5: Tính tan2a

Chúng ta có công thức tính tan của góc nhân đôi:
\[ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a} \]
Thay tana = 2 vào công thức này:
\[ \tan 2a = \frac{2 \cdot 2}{1 – 2^2} \]
\[ \tan 2a = \frac{4}{1 – 4} \]
\[ \tan 2a = \frac{4}{-3} \]
\[ \tan 2a = -\frac{4}{3} \]
Chúng ta cũng có thể tính tan2a bằng cách lấy sin2a chia cho cos2a:
\[ \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3} \]
Kết quả này cũng khớp với kết quả tính trực tiếp.

Kết luận:
Vậy, với tana = 2, chúng ta có:
sin2a = \frac{4}{5}
cos2a = -\frac{3}{5}
tan2a = -\frac{4}{3}

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và công thức nhân đôi. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo hơn nhé!