Tính :tan9 độ -tan27 độ -tan63 độ +tan81 độ
Tính :tan9 độ -tan27 độ -tan63 độ +tan81 độ
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị, nằm trong chương trình Toán lớp 11. Bài toán yêu cầu tính giá trị của biểu thức: tan9 độ -tan27 độ -tan63 độ +tan81 độ.
Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một để giải bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.
Bước 1: Phân tích biểu thức và nhóm các số hạng
Đầu tiên, chúng ta quan sát biểu thức: tan9 độ -tan27 độ -tan63 độ +tan81 độ.
Ta nhận thấy các góc có mối quan hệ với nhau, ví dụ như 9 độ và 81 độ, hay 27 độ và 63 độ. Mối quan hệ này thường gợi ý chúng ta sử dụng các công thức lượng giác liên quan đến góc phụ nhau (tổng bằng 90 độ).
Cô sẽ nhóm các số hạng lại như sau:
(tan9 độ + tan81 độ) – (tan27 độ + tan63 độ)
Bước 2: Áp dụng công thức cộng và phụ nhau cho tan
Chúng ta biết rằng tan(90 độ – x) = cot(x).
Ở đây, 81 độ = 90 độ – 9 độ và 63 độ = 90 độ – 27 độ.
Vậy, tan81 độ = tan(90 độ – 9 độ) = cot9 độ.
Và, tan63 độ = tan(90 độ – 27 độ) = cot27 độ.
Thay vào biểu thức nhóm ở Bước 1, ta có:
(tan9 độ + cot9 độ) – (tan27 độ + cot27 độ)
Bước 3: Biến đổi tan(x) + cot(x)
Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi tổng tan(x) + cot(x).
Ta biết rằng tan(x) = sin(x)/cos(x) và cot(x) = cos(x)/sin(x).
Vậy, tan(x) + cot(x) = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x).
Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số:
tan(x) + cot(x) = (sin2(x) + cos2(x)) / (sin(x)cos(x))
Chúng ta áp dụng công thức lượng giác cơ bản: sin2(x) + cos2(x) = 1.
Do đó, tan(x) + cot(x) = 1 / (sin(x)cos(x)).
Chúng ta cũng có công thức góc đôi cho sin: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), suy ra sin(x)cos(x) = sin(2x)/2.
Thay vào biểu thức trên, ta được:
tan(x) + cot(x) = 1 / (sin(2x)/2) = 2 / sin(2x).
Đây là một công thức rất hữu ích để chúng ta áp dụng.
Bước 4: Áp dụng công thức vừa tìm được vào biểu thức
Áp dụng công thức tan(x) + cot(x) = 2 / sin(2x) cho hai nhóm số hạng:
Với nhóm thứ nhất (tan9 độ + cot9 độ), ta có x = 9 độ. Vậy:
tan9 độ + cot9 độ = 2 / sin(2 * 9 độ) = 2 / sin(18 độ).
Với nhóm thứ hai (tan27 độ + cot27 độ), ta có x = 27 độ. Vậy:
tan27 độ + cot27 độ = 2 / sin(2 * 27 độ) = 2 / sin(54 độ).
Biểu thức ban đầu giờ trở thành:
(2 / sin(18 độ)) – (2 / sin(54 độ))
Bước 5: Biến đổi tiếp và sử dụng công thức góc phụ
Chúng ta có sin(54 độ). Lưu ý rằng 54 độ = 90 độ – 36 độ. Tuy nhiên, mối liên hệ này không trực tiếp giúp ta đơn giản hóa ngay lập tức.
Hãy nhớ lại rằng 54 độ và 36 độ có mối liên hệ với nhau trong các công thức lượng giác đặc biệt, thường xuất hiện khi xét đến ngũ giác đều.
Chúng ta biết giá trị của sin(18 độ) và sin(36 độ).
sin(18 độ) = (sqrt(5) – 1) / 4.
cos(36 độ) = (sqrt(5) + 1) / 4.
Và sin(54 độ) = sin(90 độ – 36 độ) = cos(36 độ).
Vậy, sin(54 độ) = (sqrt(5) + 1) / 4.
Bước 6: Thay giá trị và tính toán
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị của sin(18 độ) và sin(54 độ) vào biểu thức ở Bước 4:
Biểu thức = 2 / [(sqrt(5) – 1) / 4] – 2 / [(sqrt(5) + 1) / 4]
Biểu thức = 8 / (sqrt(5) – 1) – 8 / (sqrt(5) + 1)
Để tính toán, chúng ta quy đồng mẫu số:
Biểu thức = 8 (sqrt(5) + 1) / [(sqrt(5) – 1)(sqrt(5) + 1)] – 8 (sqrt(5) – 1) / [(sqrt(5) + 1)(sqrt(5) – 1)]
Sử dụng hằng đẳng thức (a-b)(a+b) = a2 – b2 cho mẫu số:
(sqrt(5) – 1)(sqrt(5) + 1) = (sqrt(5))2 – 12 = 5 – 1 = 4.
Vậy, biểu thức trở thành:
Biểu thức = [8 (sqrt(5) + 1) – 8 (sqrt(5) – 1)] / 4
Biểu thức = 8 * [(sqrt(5) + 1) – (sqrt(5) – 1)] / 4
Biểu thức = 8 * [sqrt(5) + 1 – sqrt(5) + 1] / 4
Biểu thức = 8 * [2] / 4
Biểu thức = 16 / 4
Biểu thức = 4.
Vậy, giá trị của biểu thức tan9 độ -tan27 độ -tan63 độ +tan81 độ là 4.
Cô hy vọng với các bước giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách vận dụng các công thức lượng giác để giải quyết bài toán. Hãy ôn tập kỹ các công thức và đừng ngại thử sức với những bài toán tương tự nhé!
Chúc các em học tốt!
\(\begin{array}{l}
\tan \left( {{{90}^o} – a} \right) = \cot a\\
\tan {9^o} – \tan {27^o} – \tan {63^o} + \tan {81^o}\\
= \tan {9^o} + \cot {9^o} – \left( {\tan {{27}^o} + \cot {{27}^o}} \right)\\
= \dfrac{{\sin {9^o}}}{{\cos {9^o}}} + \dfrac{{\cos {9^o}}}{{\sin {9^o}}} – \left( {\dfrac{{\sin {{27}^o}}}{{\cos {{27}^o}}} + \dfrac{{\cos {{27}^o}}}{{\sin {{27}^o}}}} \right)\\
= \dfrac{{{{\sin }^2}{9^o} + {{\cos }^2}{9^o}}}{{\cos {9^o}\sin {9^o}}} – \dfrac{{{{\sin }^2}{{27}^o} + {{\cos }^2}{{27}^o}}}{{\cos {{27}^o}\sin {{27}^o}}}\\
= \dfrac{1}{{\cos {9^o}\sin {9^o}}} – \dfrac{1}{{\cos {{27}^o}\sin {{27}^o}}}\\
= \dfrac{2}{{\sin {{18}^o}}} – \dfrac{2}{{\sin {{54}^o}}}\\
= 2\left( {\dfrac{1}{{\sin {{18}^o}}} – \dfrac{1}{{\sin {{54}^o}}}} \right)\\
= 2\left( {\dfrac{{\sin {{54}^o} – \sin {{18}^o}}}{{\sin {{18}^o}\sin {{54}^o}}}} \right)\\
= \dfrac{{4\cos {{36}^o}\sin {{18}^o}}}{{\sin {{18}^o}\sin {{54}^o}}}\\
= \dfrac{{4\cos {{36}^o}}}{{\sin {{54}^o}}} = 4
\end{array}\)