Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính tổng khá thú vị. Các em hãy mở sách giáo khoa trang 128 và quan sát đề bài sau:

Tính tổng D = 1/2 + 5/6 + 11/12 + 19/20 + … + 379/380

Trước khi bắt tay vào giải, cô muốn các em cùng nhau quan sát kỹ các phân số trong tổng này. Chúng ta thấy tử số và mẫu số của mỗi phân số có mối quan hệ như thế nào nhỉ?

Các em thử nhận xét xem:
1/2
5/6
11/12
19/20
…
379/380

À đúng rồi! Cô thấy có bạn đã phát hiện ra rồi đó. Mẫu số của mỗi phân số hơn tử số của nó đúng 1 đơn vị. Thêm nữa, mẫu số của các phân số này là 2, 6, 12, 20, … Chúng ta có nhận ra quy luật của dãy số này không? 2 = 1 x 2, 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4, 20 = 4 x 5. Như vậy, mẫu số của phân số thứ n là n nhân (n+1).

Vậy, phân số tổng quát của dãy số này sẽ có dạng: \(\frac{n(n+1) – 1}{n(n+1)}\) với n là số tự nhiên bắt đầu từ 1.

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm cách viết lại mỗi phân số trong tổng D theo một dạng khác để dễ tính toán hơn.

Xét phân số thứ nhất: 1/2. Cô sẽ viết lại thành: \(1 – \frac{1}{2}\)

Xét phân số thứ hai: 5/6. Cô sẽ viết lại thành: \(1 – \frac{1}{6}\)

Xét phân số thứ ba: 11/12. Cô sẽ viết lại thành: \(1 – \frac{1}{12}\)

Xét phân số thứ tư: 19/20. Cô sẽ viết lại thành: \(1 – \frac{1}{20}\)

Cứ như vậy, chúng ta sẽ viết lại phân số cuối cùng: 379/380 = \(1 – \frac{1}{380}\)

Bây giờ, cô sẽ nhóm các phân số này lại:
D = (1 – 1/2) + (1 – 1/6) + (1 – 1/12) + (1 – 1/20) + … + (1 – 1/380)

Chúng ta thấy có bao nhiêu phân số trong tổng này nhỉ? Mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, và số lớn nhất là 380 = 19 x 20. Vậy, chúng ta có 19 phân số.
Do đó, chúng ta sẽ có 19 số 1.

D = (1 + 1 + 1 + … + 1) – (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/380)
\(D = 19 – (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + … + \frac{1}{19 \times 20})\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào phần trong dấu ngoặc đơn. Các em hãy nhớ lại kiến thức về phép trừ các phân số có dạng \(\frac{1}{n(n+1)}\) mà chúng ta đã học. Chúng ta có thể tách mỗi phân số này ra như sau:
\(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\)

Áp dụng công thức này vào từng phân số trong ngoặc:
1/2 = \(1/1 – 1/2\)
1/6 = \(1/2 – 1/3\)
1/12 = \(1/3 – 1/4\)
1/20 = \(1/4 – 1/5\)
…
1/380 = \(1/19 – 1/20\)

Bây giờ, cô sẽ thay thế vào biểu thức trong ngoặc:
\((\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} – \frac{1}{5}) + … + (\frac{1}{19} – \frac{1}{20})\)

Đây là một dạng tổng đặc biệt, chúng ta gọi là “tổng lồng nhau” hoặc “tổng rút gọn”. Các em thấy những số nào sẽ bị triệt tiêu?
-1/2 sẽ triệt tiêu với +1/2
-1/3 sẽ triệt tiêu với +1/3
-1/4 sẽ triệt tiêu với +1/4
…
-1/19 sẽ triệt tiêu với +1/19

Vậy, trong ngoặc chỉ còn lại: \(1/1 – 1/20\)
\(1 – \frac{1}{20} = \frac{20}{20} – \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\)

Bây giờ, chúng ta quay trở lại với biểu thức tính D:
D = \(19 – (\frac{1}{1} – \frac{1}{20})\)
D = \(19 – \frac{19}{20}\)

Để tính hiệu này, chúng ta quy đồng mẫu số:
D = \(\frac{19 \times 20}{20} – \frac{19}{20}\)
D = \(\frac{380}{20} – \frac{19}{20}\)
D = \(\frac{380 – 19}{20}\)
D = \(\frac{361}{20}\)

Vậy, kết quả của tổng D là 361/20.

Các em thấy bài toán này có hay không? Bằng cách quan sát và vận dụng kiến thức đã học, chúng ta đã giải quyết được một bài toán trông có vẻ phức tạp ban đầu.

Hãy nhớ rằng, trong toán học, việc nhìn ra quy luật và cách biểu diễn lại dữ liệu là vô cùng quan trọng.
Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã học thêm được một phương pháp giải toán hữu ích.
Các em có câu hỏi nào không? Nếu không, chúng ta sẽ chuyển sang bài tập tiếp theo nhé!