Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải bài toán xác suất thú vị này! Đây là một dạng bài rất hay thường gặp trong các kì thi. Để giải quyết bài toán này một cách chi tiết và rõ ràng nhất, chúng ta sẽ đi theo từng bước nhé.

Bài giải:

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu của bài toán: Rút ngẫu nhiên 3 thẻ từ 30 thẻ và tính xác suất để tổng các số trên 3 thẻ đó chia hết cho 3.

Bước 1: Xác định không gian mẫu (Tổng số cách rút 3 thẻ)

Không gian mẫu \(\(\Omega\)\) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi ta rút ngẫu nhiên 3 thẻ từ 30 thẻ. Vì thứ tự rút không quan trọng, ta sử dụng công thức tổ hợp.
Số cách chọn 3 thẻ từ 30 thẻ là:
\[|\Omega| = C_{30}^3\]
Áp dụng công thức tổ hợp \(\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)\), ta có:
\[C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3!27!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1}\]
\[C_{30}^3 = 5 \times 29 \times 28 = 4060\]
Vậy, tổng số cách rút 3 thẻ là \(\(4060\)\) cách.

Bước 2: Phân loại các tấm thẻ theo số dư khi chia cho 3

Để xác định tổng của 3 số có chia hết cho 3 hay không, chúng ta cần xem xét số dư của từng số khi chia cho 3.
Các số từ 1 đến 30 có thể được chia thành 3 nhóm dựa trên số dư khi chia cho 3:

– Nhóm \(\(A_0\)\): Các số chia hết cho 3 (dư 0).
Gồm các số: \(\(3, 6, 9, …, 30\)\)
Số lượng phần tử: \(\(\frac{30 – 3}{3} + 1 = 10\)\) số.

– Nhóm \(\(A_1\)\): Các số chia 3 dư 1.
Gồm các số: \(\(1, 4, 7, …, 28\)\)
Số lượng phần tử: \(\(\frac{28 – 1}{3} + 1 = 10\)\) số.

– Nhóm \(\(A_2\)\): Các số chia 3 dư 2.
Gồm các số: \(\(2, 5, 8, …, 29\)\)
Số lượng phần tử: \(\(\frac{29 – 2}{3} + 1 = 10\)\) số.

Kiểm tra lại: \(\(10 + 10 + 10 = 30\)\) thẻ. Đúng.

Bước 3: Xác định các trường hợp để tổng 3 số chia hết cho 3

Gọi 3 số được rút ra là \(\(x_1, x_2, x_3\)\). Ta cần \(\(x_1 + x_2 + x_3 \equiv 0 \pmod 3\)\).
Điều này xảy ra khi tổng số dư của 3 số khi chia cho 3 cũng chia hết cho 3. Có 4 trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: Cả 3 thẻ đều thuộc nhóm \(\(A_0\)\) (3 số chia hết cho 3).
– Số dư: \(\(0 + 0 + 0 = 0 \equiv 0 \pmod 3\)\)
– Số cách chọn: Rút 3 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_0\)\).
\[C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

Trường hợp 2: Cả 3 thẻ đều thuộc nhóm \(\(A_1\)\) (3 số chia 3 dư 1).
– Số dư: \(\(1 + 1 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod 3\)\)
– Số cách chọn: Rút 3 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_1\)\).
\[C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

Trường hợp 3: Cả 3 thẻ đều thuộc nhóm \(\(A_2\)\) (3 số chia 3 dư 2).
– Số dư: \(\(2 + 2 + 2 = 6 \equiv 0 \pmod 3\)\)
– Số cách chọn: Rút 3 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_2\)\).
\[C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

Trường hợp 4: Mỗi thẻ thuộc một nhóm khác nhau (1 thẻ \(\(A_0\)\), 1 thẻ \(\(A_1\)\), 1 thẻ \(\(A_2\)\)).
– Số dư: \(\(0 + 1 + 2 = 3 \equiv 0 \pmod 3\)\)
– Số cách chọn: Rút 1 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_0\)\), 1 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_1\)\) và 1 thẻ từ 10 thẻ của nhóm \(\(A_2\)\).
\[C_{10}^1 \times C_{10}^1 \times C_{10}^1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\]

Bước 4: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A (Số cách rút 3 thẻ có tổng chia hết cho 3)

Gọi A là biến cố “tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A, kí hiệu là \(\(|A|\)\), là tổng số cách chọn trong 4 trường hợp trên:
\[|A| = 120 + 120 + 120 + 1000 = 360 + 1000 = 1360\]

Bước 5: Tính xác suất của biến cố A

Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
\[P(A) = \frac{1360}{4060}\]
Chúng ta rút gọn phân số này:
\[P(A) = \frac{136}{406} = \frac{68}{203}\]
(Ta chia cả tử và mẫu cho 10, sau đó chia cho 2. Phân số \(\(68/203\)\) không thể rút gọn thêm vì \(\(68 = 2^2 \times 17\)\) và \(\(203 = 7 \times 29\)\)).

Kết luận:
Vậy, xác suất để tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3 là \(\(\frac{68}{203}\)\).

Chúc em học tốt và nắm vững kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi thầy!