tổng các nghiệm của phương trình: căn bậc 2( 3x+7 ) – căn bậc hai (x+1)=2
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm tổng các nghiệm của phương trình:
\( \sqrt{3x+7} – \sqrt{x+1} = 2 \)
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, đảm bảo rằng chúng ta không bỏ sót bất kỳ điều kiện nào nhé.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Đối với phương trình có chứa căn bậc hai, biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Do đó, chúng ta cần có hai điều kiện sau:
\( 3x+7 \ge 0 \)
\( x+1 \ge 0 \)
Giải từng bất phương trình:
Từ \( 3x+7 \ge 0 \), ta có \( 3x \ge -7 \), suy ra \( x \ge -\frac{7}{3} \).
Từ \( x+1 \ge 0 \), ta có \( x \ge -1 \).
Để cả hai điều kiện cùng thỏa mãn, chúng ta cần lấy giá trị lớn hơn của các cận dưới. Vì \( -1 > -\frac{7}{3} \), nên điều kiện xác định của phương trình là \( x \ge -1 \).
Bước 2: Biến đổi phương trình để mất căn thức.
Chúng ta sẽ chuyển một căn thức sang vế phải để có thể bình phương hai vế một cách thuận lợi hơn.
\( \sqrt{3x+7} = 2 + \sqrt{x+1} \)
Bình phương hai vế của phương trình. Lưu ý rằng, khi bình phương hai vế, chúng ta cần đảm bảo cả hai vế đều không âm. Vế trái \( \sqrt{3x+7} \) luôn không âm (do điều kiện xác định). Vế phải \( 2 + \sqrt{x+1} \) cũng luôn không âm vì 2 dương và \( \sqrt{x+1} \) không âm. Do đó, việc bình phương hai vế là hợp lệ.
\( (\sqrt{3x+7})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2 \)
\( 3x+7 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x+1} + (\sqrt{x+1})^2 \)
\( 3x+7 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x+1 \)
\( 3x+7 = x+5 + 4\sqrt{x+1} \)
Bây giờ, chúng ta lại cô lập căn thức ở một vế.
\( 3x+7 – (x+5) = 4\sqrt{x+1} \)
\( 3x+7 – x – 5 = 4\sqrt{x+1} \)
\( 2x+2 = 4\sqrt{x+1} \)
Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để phương trình gọn gàng hơn.
\( x+1 = 2\sqrt{x+1} \)
Tiếp tục bình phương hai vế để mất căn thức. Tuy nhiên, trước khi bình phương, chúng ta cần xem xét điều kiện cho vế trái. Vế trái là \( x+1 \). Để phương trình này có nghiệm, vế trái phải không âm, tức là \( x+1 \ge 0 \), hay \( x \ge -1 \). Điều này hoàn toàn trùng với điều kiện xác định chúng ta đã tìm được ở Bước 1, nên chúng ta có thể yên tâm bình phương.
\( (x+1)^2 = (2\sqrt{x+1})^2 \)
\( (x+1)^2 = 4(x+1) \)
Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải phương trình bậc hai.
\( (x+1)^2 – 4(x+1) = 0 \)
Chúng ta có thể đặt \( y = x+1 \) để đưa về một phương trình quen thuộc hơn.
\( y^2 – 4y = 0 \)
\( y(y-4) = 0 \)
Điều này cho chúng ta hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( y = 0 \)
Trường hợp 2: \( y-4 = 0 \implies y = 4 \)
Bây giờ, chúng ta thay \( y = x+1 \) trở lại:
Trường hợp 1: \( x+1 = 0 \implies x = -1 \)
Trường hợp 2: \( x+1 = 4 \implies x = 3 \)
Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định.
Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \( x \) là \( -1 \) và \( 3 \). Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện xác định \( x \ge -1 \) hay không.
Với \( x = -1 \): \( -1 \ge -1 \). Giá trị này thỏa mãn điều kiện.
Với \( x = 3 \): \( 3 \ge -1 \). Giá trị này cũng thỏa mãn điều kiện.
Tiếp theo, chúng ta sẽ thay từng nghiệm vào phương trình ban đầu để chắc chắn rằng chúng là nghiệm thực sự.
Kiểm tra với \( x = -1 \):
\( \sqrt{3(-1)+7} – \sqrt{(-1)+1} = \sqrt{-3+7} – \sqrt{0} = \sqrt{4} – 0 = 2 – 0 = 2 \)
Vế trái bằng 2, bằng với vế phải. Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm của phương trình.
Kiểm tra với \( x = 3 \):
\( \sqrt{3(3)+7} – \sqrt{3+1} = \sqrt{9+7} – \sqrt{4} = \sqrt{16} – \sqrt{4} = 4 – 2 = 2 \)
Vế trái bằng 2, bằng với vế phải. Vậy \( x = 3 \) cũng là một nghiệm của phương trình.
Vậy, phương trình có hai nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = 3 \).
Bước 4: Tính tổng các nghiệm.
Đề bài yêu cầu tính tổng các nghiệm của phương trình.
Tổng các nghiệm = \( (-1) + 3 \)
Tổng các nghiệm = \( 2 \)
Kết luận:
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 2.
Các em thấy đó, với các bài toán về căn thức, việc đầu tiên và quan trọng nhất là phải xác định đúng điều kiện xác định. Sau đó, chúng ta biến đổi phương trình một cách cẩn thận, bình phương hai vế khi cần thiết và cuối cùng là kiểm tra lại các nghiệm tìm được.
Các em có câu hỏi nào không?
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\(\sqrt{3x + 7} – \sqrt{x + 1} = 2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3x + 7} = \sqrt{x + 1} + 2\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x + 1 \ge 0 \\ 3x + 7 = (\sqrt{x + 1} + 2)^2 \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ 3x + 7 = x + 1 + 4\sqrt{x + 1} + 4 \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ 2x + 2 = 4\sqrt{x + 1} \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ (2x + 2)^2 = 16(x + 1) \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ 4x^2 + 8x + 4 = 16x + 16 \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ 4x^2 – 8x – 12 = 0 \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} x \ge -1 \\ \left[ \begin{array}{l}x=3(n)\\x=-1(n)\end{array} \right. \end {cases}\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{3x + 7} – \sqrt{x + 1} = 2\) là \(3 – 1 = 2\)
\(sqrt{3x+7}-sqrt{x+1}=2\) (*)
\(<=>sqrt{3x+7}=2+sqrt{x+1}\)
Bình phương \(2\) vế của pt (*) , ta được :
\(3x+7= x+4sqrt{x+1}+5\)
\(=>2x+2=4sqrt{x+1}\)
\(=>2(x+1)=4sqrt{x+1}\)
\(=>x+1=2sqrt{x+1}\)
Bình phương \(2\) vế 1 lần nữa , ta được :
\(x^2+2x+1=4x+4\)
\(=>x^2-2x-3=0\)
\(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào pt (*), ta thấy cả 2 giá trị đều thỏa.
Vậy \(S={3;-1}\) -> Tổng nghiệm của phương trình (*) : \(3+(-1)=2\)