Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán thú vị về phương trình lượng giác. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức biến đổi và kĩ năng xử lí các nghiệm trong một khoảng cho trước. Chúng ta bắt đầu nhé!

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tổng các nghiệm của phương trình \(sin x – cos 2x = 0\) trên đoạn \([-pi/2; pi/2]\). Sau đó, biểu diễn tổng này dưới dạng \(-\dfrac{a\pi }{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên và \(a/b\) là phân số tối giản, cuối cùng là tính giá trị của \(a+b\).

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi phương trình ban đầu về dạng cơ bản hơn bằng cách sử dụng các công thức lượng giác.
2. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm ra các họ nghiệm tổng quát.
3. Tìm các nghiệm cụ thể thuộc đoạn \([-pi/2; pi/2]\) từ các họ nghiệm tổng quát.
4. Tính tổng các nghiệm tìm được và biểu diễn dưới dạng yêu cầu.
5. Tính giá trị \(a+b\).

Bây giờ, chúng ta hãy đi vào chi tiết từng bước một.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

Phương trình đã cho là: \(sin x – cos 2x = 0\)

Chúng ta thấy rằng phương trình này chứa cả \(sin x\) và \(cos 2x\). Để đưa về một hàm lượng giác duy nhất, ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi của \(cos 2x\).

Nhắc lại công thức: \[cos 2x = 1 – 2sin^2 x\]
(Giải thích: Công thức này giúp chúng ta chuyển \(cos 2x\) về dạng chỉ chứa \(sin x\), từ đó biến phương trình ban đầu thành một phương trình bậc hai đối với \(sin x\), dễ dàng giải quyết hơn.)

Thay công thức vào phương trình, ta được:

\[sin x – (1 – 2sin^2 x) = 0\]
\[sin x – 1 + 2sin^2 x = 0\]

Sắp xếp lại theo thứ tự bậc của \(sin x\), ta có:

\[2sin^2 x + sin x – 1 = 0\]

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Đây là một phương trình bậc hai đối với \(sin x\). Ta có thể đặt \(t = sin x\), với điều kiện \( -1 \le t \le 1 \). Phương trình trở thành:

\[2t^2 + t – 1 = 0\]

Ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

(Giải thích: Việc đặt ẩn phụ giúp chúng ta nhìn rõ đây là một phương trình bậc hai quen thuộc, dễ dàng tìm ra giá trị của \(sin x\).)

Tính delta: \(\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9\)

Các nghiệm của \(t\) là:

\[t_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\]
\[t_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 – \sqrt{9}}{2(2)} = \dfrac{-1 – 3}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1\]

Cả hai giá trị \(t = 1/2\) và \(t = -1\) đều thỏa mãn điều kiện \(-1 \le t \le 1\).

Vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(sin x = \dfrac{1}{2}\)

Với \(sin x = \dfrac{1}{2}\), các họ nghiệm tổng quát là:

\[x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
hoặc
\[x = \pi – \dfrac{\pi}{6} + k2\pi = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
(Giải thích: Đây là công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(sin x = sin \alpha\), bao gồm hai họ nghiệm do tính đối xứng của hàm sin.)

Trường hợp 2: \(sin x = -1\)

Với \(sin x = -1\), họ nghiệm tổng quát là:

\[x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
(Giải thích: Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình \(sin x = \alpha\), tương ứng với điểm thấp nhất trên đường tròn lượng giác.)

Bước 3: Tìm các nghiệm cụ thể thuộc đoạn \([-pi/2; pi/2]\).

Chúng ta sẽ xét từng họ nghiệm và tìm giá trị \(k\) nguyên sao cho \(x \in [-pi/2; pi/2]\).

(Giải thích: Việc giới hạn \(x\) trong một khoảng giúp chúng ta chọn ra các nghiệm “duy nhất” thỏa mãn điều kiện của bài toán, thay vì vô số nghiệm tổng quát.)

Đối với họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\):

Ta có: \(-\dfrac{\pi}{2} \le \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi}{2}\)

Trừ \(\dfrac{\pi}{6}\) cho tất cả các vế:

\[-\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{6} \le k2\pi \le \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{6}\]
\[-\dfrac{3\pi}{6} – \dfrac{\pi}{6} \le k2\pi \le \dfrac{3\pi}{6} – \dfrac{\pi}{6}\]
\[-\dfrac{4\pi}{6} \le k2\pi \le \dfrac{2\pi}{6}\]
\[-\dfrac{2\pi}{3} \le k2\pi \le \dfrac{\pi}{3}\]

Chia tất cả các vế cho \(2\pi\) (lưu ý \(2\pi > 0\) nên chiều bất đẳng thức không đổi):

\[-\dfrac{2\pi}{3 \cdot 2\pi} \le k \le \dfrac{\pi}{3 \cdot 2\pi}\]
\[-\dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\]

Vì \(k\) là số nguyên, giá trị duy nhất thỏa mãn là \(k = 0\).

Với \(k = 0\), ta có nghiệm: \(x_1 = \dfrac{\pi}{6}\).

Đối với họ nghiệm \(x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi\):

Ta có: \(-\dfrac{\pi}{2} \le \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi}{2}\)

Trừ \(\dfrac{5\pi}{6}\) cho tất cả các vế:

\[-\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{5\pi}{6} \le k2\pi \le \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{5\pi}{6}\]
\[-\dfrac{3\pi}{6} – \dfrac{5\pi}{6} \le k2\pi \le \dfrac{3\pi}{6} – \dfrac{5\pi}{6}\]
\[-\dfrac{8\pi}{6} \le k2\pi \le -\dfrac{2\pi}{6}\]
\[-\dfrac{4\pi}{3} \le k2\pi \le -\dfrac{\pi}{3}\]

Chia tất cả các vế cho \(2\pi\):

\[-\dfrac{4\pi}{3 \cdot 2\pi} \le k \le -\dfrac{\pi}{3 \cdot 2\pi}\]
\[-\dfrac{2}{3} \le k \le -\dfrac{1}{6}\]

Vì \(k\) là số nguyên, không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn điều kiện này.

Đối với họ nghiệm \(x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\):

Ta có: \(-\dfrac{\pi}{2} \le -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \le \dfrac{\pi}{2}\)

Cộng \(\dfrac{\pi}{2}\) cho tất cả các vế:

\[-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} \le k2\pi \le \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\]
\[0 \le k2\pi \le \pi\]

Chia tất cả các vế cho \(2\pi\):

\[0 \le k \le \dfrac{1}{2}\]

Vì \(k\) là số nguyên, giá trị duy nhất thỏa mãn là \(k = 0\).

Với \(k = 0\), ta có nghiệm: \(x_2 = -\dfrac{\pi}{2}\).

Bước 4: Tính tổng các nghiệm và biểu diễn dưới dạng yêu cầu.

Các nghiệm tìm được trên đoạn \([-pi/2; pi/2]\) là \(x_1 = \dfrac{\pi}{6}\) và \(x_2 = -\dfrac{\pi}{2}\).

Tổng các nghiệm là:

\[S = x_1 + x_2 = \dfrac{\pi}{6} + \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\]
\[S = \dfrac{\pi}{6} – \dfrac{3\pi}{6}\]
\[S = \dfrac{-2\pi}{6}\]
\[S = -\dfrac{\pi}{3}\]

Bài toán yêu cầu tổng các nghiệm có dạng \(-\dfrac{a\pi }{b}\) với \(a, b\) thuộc \(\mathbb{Z}\) và \(a/b\) là phân số tối giản.

So sánh \(-\dfrac{\pi}{3}\) với \(-\dfrac{a\pi }{b}\), ta có thể chọn \(a = 1\) và \(b = 3\).

Kiểm tra điều kiện:

• \(a, b \in \mathbb{Z}\): \(1 \in \mathbb{Z}, 3 \in \mathbb{Z}\) (Đúng).
• \(a/b\) là phân số tối giản: \(1/3\) là phân số tối giản (Đúng).

Bước 5: Tính giá trị \(a+b\).

Với \(a = 1\) và \(b = 3\), ta có:

\[a+b = 1+3 = 4\]

KẾT LUẬN:

Vậy, giá trị \(a+b\) là 4.

Thầy mong rằng qua lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ từng bước làm và củng cố thêm kiến thức về phương trình lượng giác. Hãy luôn nhớ, việc nắm vững công thức và kĩ năng trình bày là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán một cách chính xác nhất!