Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một tính chất rất thú vị và quan trọng trong Toán học, đặc biệt là phần Đại số lớp 9. Đó là câu hỏi: “Bình phương của giá trị tuyệt đối bằng gì?”

Đây là một kiến thức nền tảng giúp chúng ta giải quyết nhiều dạng bài tập liên quan đến căn bậc hai và phương trình. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu từng bước một nhé!

---

Bước 1: Nhắc lại về Khái niệm Giá trị tuyệt đối

Trước hết, các em hãy nhớ lại giá trị tuyệt đối của một số là gì nào? Giá trị tuyệt đối của một số thực \(x\), ký hiệu là \(|x|\), được định nghĩa như sau:

• Nếu \(x\) là một số không âm (tức là \(x \ge 0\)), thì \(|x| = x\).
• Nếu \(x\) là một số âm (tức là \(x < 0\)), thì \(|x| = -x\).

Nói cách khác, giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến điểm 0 trên trục số, và vì khoảng cách luôn là một giá trị không âm, nên \(|x| \ge 0\) với mọi \(x\).

Ví dụ:

• \(|5| = 5\) (vì \(5 > 0\))
• \(|-5| = -(-5) = 5\) (vì \(-5 < 0\))
• \(|0| = 0\)

Bước 2: Cùng khám phá qua các ví dụ cụ thể

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bình phương của giá trị tuyệt đối của một số trong các trường hợp cụ thể.

Ví dụ 1: Với một số dương.

Hãy xét số \(x = 3\).

• Đầu tiên, ta tính giá trị tuyệt đối của \(3\): \(|3| = 3\).
• Tiếp theo, ta bình phương kết quả vừa tìm được: \((|3|)^2 = 3^2 = 9\).

Nếu chúng ta bình phương số \(3\) ngay từ đầu: \(3^2 = 9\).
Ta thấy: \((|3|)^2 = 3^2 = 9\).

Ví dụ 2: Với một số âm.

Hãy xét số \(x = -3\).

• Đầu tiên, ta tính giá trị tuyệt đối của \(-3\): \(|-3| = 3\).
• Tiếp theo, ta bình phương kết quả vừa tìm được: \((|-3|)^2 = 3^2 = 9\).

Nếu chúng ta bình phương số \(-3\) ngay từ đầu: \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\).
Ta thấy: \((|-3|)^2 = (-3)^2 = 9\).

Ví dụ 3: Với số 0.

Hãy xét số \(x = 0\).

• Đầu tiên, ta tính giá trị tuyệt đối của \(0\): \(|0| = 0\).
• Tiếp theo, ta bình phương kết quả vừa tìm được: \((|0|)^2 = 0^2 = 0\).

Nếu chúng ta bình phương số \(0\) ngay từ đầu: \(0^2 = 0\).
Ta thấy: \((|0|)^2 = 0^2 = 0\).

Bước 3: Công thức tổng quát và giải thích

Qua các ví dụ trên, các em có nhận xét gì không? Có vẻ như bình phương của giá trị tuyệt đối của một số \(x\) luôn bằng bình phương của chính số \(x\) đó.

Đúng vậy! Chúng ta có công thức tổng quát sau:

\[(|x|)^2 = x^2\]

Giải thích tại sao lại có công thức này:

Chúng ta biết rằng \(|x|\) luôn là một số không âm. Khi bình phương một số, dù số đó là dương hay âm, kết quả luôn là một số không âm. Cụ thể:

• Nếu \(x\) là số dương (ví dụ \(x=3\)), thì \(|x|=x\). Khi đó, \((|x|)^2 = x^2\).
• Nếu \(x\) là số âm (ví dụ \(x=-3\)), thì \(|x|=-x\). Khi đó, \((|x|)^2 = (-x)^2\). Và chúng ta đã biết rằng \((-x)^2 = (-x) \times (-x) = x \times x = x^2\).
• Nếu \(x=0\), thì \(|x|=0\). Khi đó, \((|x|)^2 = 0^2 = 0\). Và \(x^2 = 0^2 = 0\).

Trong mọi trường hợp, bình phương của giá trị tuyệt đối của \(x\) đều bằng bình phương của \(x\).

Vì vậy, công thức \((|x|)^2 = x^2\) luôn đúng với mọi số thực \(x\).

Bước 4: Một ứng dụng quan trọng

Công thức này có một vai trò cực kỳ quan trọng khi chúng ta học về căn bậc hai. Các em đã biết rằng, với một số \(A \ge 0\), chúng ta có \(\sqrt{A^2} = |A|\).

Vậy thì, nếu chúng ta có \(\sqrt{x^2}\), theo định nghĩa, nó phải là giá trị tuyệt đối của \(x\), tức là \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Từ đó, kết hợp với công thức vừa học \((|x|)^2 = x^2\), ta thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa giá trị tuyệt đối và bình phương của một số, cũng như căn bậc hai của bình phương một số.

Ví dụ:

• \(\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5\). Mà \(|5| = 5\). Vậy \(\sqrt{5^2} = |5|\).
• \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). Mà \(|-5| = 5\). Vậy \(\sqrt{(-5)^2} = |-5|\).

---

Kết luận:

Các em hãy ghi nhớ thật kỹ công thức quan trọng này nhé: Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số \(x\) luôn bằng bình phương của chính số \(x\) đó.

\[(|x|)^2 = x^2\]

Chúc các em học tốt và áp dụng thành thạo kiến thức này vào các bài tập sắp tới!