Xin chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về ước của một số tự nhiên. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tổng các ước tự nhiên của số 75.

Các em còn nhớ khái niệm ước tự nhiên là gì không nào? Một số tự nhiên a được gọi là ước của số tự nhiên b nếu b chia hết cho a.

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích số 75 ra thừa số nguyên tố.
Để tìm tất cả các ước của một số, việc đầu tiên và quan trọng nhất là phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Đây là nền tảng để chúng ta có thể xác định được tất cả các ước một cách có hệ thống.
Chúng ta thực hiện phép chia lần lượt cho các số nguyên tố nhỏ nhất:
75 chia hết cho 3, ta có: 75 = 3 * 25.
Tiếp tục với 25, 25 chia hết cho 5, ta có: 25 = 5 * 5.
Vậy, phân tích số 75 ra thừa số nguyên tố là: 75 = 3 * 5².

Bước 2: Xác định các ước của số 75.
Sau khi đã có phân tích thừa số nguyên tố, chúng ta sẽ liệt kê tất cả các ước. Các ước của 75 sẽ có dạng 3^a * 5^b, trong đó a có thể là 0 hoặc 1 (vì số mũ của 3 trong phân tích là 1), và b có thể là 0, 1 hoặc 2 (vì số mũ của 5 trong phân tích là 2).

Chúng ta sẽ liệt kê lần lượt các trường hợp:
– Khi a = 0:
– b = 0: 3⁰ 5⁰ = 1 1 = 1
– b = 1: 3⁰ 5¹ = 1 5 = 5
– b = 2: 3⁰ 5² = 1 25 = 25
– Khi a = 1:
– b = 0: 3¹ 5⁰ = 3 1 = 3
– b = 1: 3¹ 5¹ = 3 5 = 15
– b = 2: 3¹ 5² = 3 25 = 75

Vậy, các ước tự nhiên của số 75 là: 1, 3, 5, 15, 25, 75.

Bước 3: Tính tổng các ước của số 75.
Bây giờ, chúng ta chỉ cần cộng tất cả các ước đã tìm được ở Bước 2.
Tổng các ước = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75.

Thực hiện phép cộng:
1 + 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 15 = 24
24 + 25 = 49
49 + 75 = 124.

Vậy, tổng các ước tự nhiên của số 75 là 124.

Lưu ý cho các em: Đối với những số lớn, việc liệt kê và cộng thủ công có thể mất nhiều thời gian. Chúng ta có một công thức tính tổng các ước của một số dựa trên phân tích thừa số nguyên tố. Nếu số N được phân tích ra thừa số nguyên tố là \(N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\), thì tổng các ước của N, ký hiệu là \(\sigma(N)\), được tính bằng công thức:
\[\sigma(N) = (1 + p_1 + p_1^2 + \ldots + p_1^{a_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \ldots + p_2^{a_2})\ldots(1 + p_k + p_k^2 + \ldots + p_k^{a_k})\]
Hoặc có thể viết gọn hơn dưới dạng cấp số nhân:
\[\sigma(N) = \left(\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\right)\left(\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\right)\ldots\left(\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}\right)\]

Áp dụng công thức này cho số 75 = 3¹ * 5²:
\(\sigma(75) = (1 + 3^1)(1 + 5^1 + 5^2)\)
\(\sigma(75) = (1 + 3)(1 + 5 + 25)\)
\(\sigma(75) = (4)(31)\)
\(\sigma(75) = 124\).

Kết quả hoàn toàn trùng khớp với cách làm thủ công của chúng ta. Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách tìm ước và tổng các ước của một số tự nhiên. Chúc các em học tốt!