Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình bậc hai. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán lớp 8, tập 2, trang… (Giáo viên sẽ chỉ vào trang sách tương ứng, ví dụ trang 58) và chúng ta sẽ giải bài tập này.

Đề bài của chúng ta là: Tìm x, biết rằng (2x+7)^2 = 9(x+2)^2.

Đây là một bài toán về phương trình bậc hai, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học về hằng đẳng thức và cách giải phương trình.

Bước 1: Khai triển hai vế của phương trình

Chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức “(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2” để khai triển vế trái.
Ở đây, a = 2x và b = 7.
Vậy, (2x+7)^2 = (2x)^2 + 2*(2x)*7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49.

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển vế phải.
Trước hết, ta thấy 9 có thể viết thành 3^2.
Vậy, 9(x+2)^2 = 3^2 * (x+2)^2.
Áp dụng hằng đẳng thức “(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2” cho (x+2)^2, với a = x và b = 2.
Ta có: (x+2)^2 = x^2 + 2*x*2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4.
Do đó, 9(x+2)^2 = 9 * (x^2 + 4x + 4) = 9x^2 + 36x + 36.

Sau khi khai triển, phương trình của chúng ta trở thành:
4x^2 + 28x + 49 = 9x^2 + 36x + 36.

Bước 2: Chuyển vế để đưa phương trình về dạng ax^2 + bx + c = 0

Để giải phương trình, chúng ta cần chuyển tất cả các hạng tử về một vế, sao cho vế còn lại bằng 0. Chúng ta sẽ chuyển các hạng tử từ vế phải sang vế trái.
Lưu ý: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu của nó.

Từ phương trình: 4x^2 + 28x + 49 = 9x^2 + 36x + 36
Ta có: 4x^2 – 9x^2 + 28x – 36x + 49 – 36 = 0.

Bước 3: Rút gọn phương trình

Bây giờ, chúng ta sẽ thu gọn các hạng tử đồng dạng.
– Hạng tử bậc hai: 4x^2 – 9x^2 = (4 – 9)x^2 = -5x^2.
– Hạng tử bậc nhất: 28x – 36x = (28 – 36)x = -8x.
– Hạng tử tự do: 49 – 36 = 13.

Vậy, phương trình sau khi rút gọn là:
-5x^2 – 8x + 13 = 0.

Bước 4: Nhân hai vế với -1 (tùy chọn, để hệ số a dương)

Để dễ dàng hơn trong việc áp dụng các công thức giải phương trình bậc hai hoặc phân tích thành nhân tử, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với -1. Việc này không làm thay đổi nghiệm của phương trình.
(-5x^2 – 8x + 13) (-1) = 0 (-1)
5x^2 + 8x – 13 = 0.

Bây giờ, chúng ta có một phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0, với a = 5, b = 8, và c = -13.

Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai

Có hai cách chính để giải phương trình bậc hai này mà không vượt lớp 8:
Cách 1: Phân tích thành nhân tử (nếu có thể)
Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm (nếu đã học hoặc có thể suy luận)

Trong chương trình lớp 8, chúng ta thường được hướng dẫn phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên, bài toán này có thể được giải quyết một cách tương đối đơn giản bằng cách thử các giá trị hoặc nhận thấy một đặc điểm của các hệ số.

Xét phương trình: 5x^2 + 8x – 13 = 0.
Ta nhận thấy rằng tổng các hệ số là: 5 + 8 + (-13) = 13 – 13 = 0.
Khi tổng các hệ số của một phương trình bậc hai bằng 0, thì ta biết rằng x = 1 là một nghiệm của phương trình.

Để chứng minh điều này, ta thay x = 1 vào phương trình:
5*(1)^2 + 8*(1) – 13 = 5*1 + 8 – 13 = 5 + 8 – 13 = 13 – 13 = 0.
Vậy, x = 1 là một nghiệm.

Nếu x = 1 là một nghiệm, thì (x – 1) là một nhân tử của đa thức 5x^2 + 8x – 13.
Chúng ta sẽ phân tích đa thức này thành nhân tử.

Ta cần tìm một hạng tử nữa để nhân với (x – 1) được 5x^2 + 8x – 13.
Ta có: 5x^2 + 8x – 13 = (x – 1) * (Ax + B).
Khai triển vế phải: Ax^2 + Bx – Ax – B = Ax^2 + (B-A)x – B.
Đồng nhất các hệ số với 5x^2 + 8x – 13:
– Hệ số của x^2: A = 5.
– Hằng số tự do: -B = -13 => B = 13.
Kiểm tra hệ số của x: B – A = 13 – 5 = 8. Đúng với hệ số của x trong phương trình.

Vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:
(x – 1)(5x + 13) = 0.

Bước 6: Tìm các nghiệm của phương trình

Khi tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.
Trường hợp 1: x – 1 = 0
Suy ra: x = 1.

Trường hợp 2: 5x + 13 = 0
Suy ra: 5x = -13
Suy ra: x = -13/5.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = -13/5.

Kết luận:

Sau khi thực hiện các bước khai triển, chuyển vế, rút gọn và phân tích thành nhân tử, chúng ta tìm được hai giá trị của x thỏa mãn phương trình ban đầu là x = 1 và x = -13/5.

Các em có thể kiểm tra lại bằng cách thay các giá trị này vào phương trình gốc để xem chúng có cho ra kết quả đúng hay không.

Chúc các em học tốt và nắm vững bài học này!