Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập thú vị trong chương trình Hình học không gian lớp 12, liên quan đến mặt phẳng và trọng tâm của tứ diện. Các em hãy mở Sách giáo khoa trang 78, chúng ta sẽ xem xét câu hỏi số 4.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm mặt phẳng nào trong các phương án cho trước, khi cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C, thì điểm G(1;3;4) sẽ là trọng tâm của tứ diện OABC.

Đầu tiên, chúng ta cần nhắc lại một số kiến thức quan trọng.

1. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Nếu một mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ khác 0 là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), thì phương trình của mặt phẳng đó có dạng:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]
Trong đó, a, b, c là các giá trị khác 0.

2. Trọng tâm của tứ diện:
Cho tứ diện có bốn đỉnh là O(0;0;0), A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Tọa độ trọng tâm G của tứ diện OABC được tính theo công thức:
\[ G = \left( \frac{0+x_A+x_B+x_C}{4}; \frac{0+y_A+y_B+y_C}{4}; \frac{0+z_A+z_B+z_C}{4} \right) \]

Bây giờ, chúng ta áp dụng vào bài toán cụ thể.

Đề bài cho điểm G có tọa độ là G(1;3;4).
Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.
Giả sử mặt phẳng đó có phương trình dạng đoạn chắn là:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]
Khi đó, tọa độ các điểm A, B, C sẽ là:
A(a;0;0)
B(0;b;0)
C(0;0;c)

Tứ diện trong bài toán là OABC, với O là gốc tọa độ (0;0;0).
Áp dụng công thức tính trọng tâm cho tứ diện OABC, ta có:
G(x_G; y_G; z_G) = \(\left( \frac{0+a+0+0}{4}; \frac{0+0+b+0}{4}; \frac{0+0+0+c}{4} \right)\)
G(x_G; y_G; z_G) = \(\left( \frac{a}{4}; \frac{b}{4}; \frac{c}{4} \right)\)

Theo đề bài, tọa độ của điểm G là (1;3;4). Do đó, ta có:
\[ \frac{a}{4} = 1 \Rightarrow a = 4 \]
\[ \frac{b}{4} = 3 \Rightarrow b = 12 \]
\[ \frac{c}{4} = 4 \Rightarrow c = 16 \]

Vậy, phương trình mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua các điểm A(4;0;0), B(0;12;0), C(0;0;16).
Thay các giá trị a, b, c vào phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn, ta được:
\[ \frac{x}{4} + \frac{y}{12} + \frac{z}{16} = 1 \]

Bây giờ, chúng ta cần quy đồng mẫu số để đưa về dạng tổng quát Ax + By + Cz + D = 0.
Mẫu số chung nhỏ nhất của 4, 12, 16 là 48.
Nhân cả hai vế của phương trình với 48:
\[ 48 \left( \frac{x}{4} + \frac{y}{12} + \frac{z}{16} \right) = 48 \times 1 \]
\[ 12x + 4y + 3z = 48 \]
Chuyển 48 sang vế trái, ta được phương trình mặt phẳng:
\[ 12x + 4y + 3z – 48 = 0 \]

Chúng ta đã tìm được phương trình mặt phẳng. Thông thường, đề bài sẽ cho các phương án dưới dạng này để chúng ta lựa chọn. Nếu đề bài có các phương án như sau (ví dụ):
A. 2x + 6y + 8z – 24 = 0
B. x + 3y + 4z – 12 = 0
C. 12x + 4y + 3z – 48 = 0
D. 3x + y + 4z – 16 = 0

Ta sẽ so sánh phương trình mặt phẳng ta tìm được với các phương án.
Phương trình ta tìm được là 12x + 4y + 3z – 48 = 0.
Phương án C trùng với phương trình ta tìm được.

Nếu phương án A là 2x + 6y + 8z – 24 = 0, ta có thể chia cả hai vế cho 2 để được x + 3y + 4z – 12 = 0.
Ta thấy phương trình này khác với phương trình ta tìm được.

Các em lưu ý, khi kiểm tra các phương án, có thể các phương án đã được nhân chia với một hệ số nào đó, miễn là tỉ lệ các hệ số x, y, z và hệ số tự do tương ứng với phương trình ta tìm được là đúng, thì mặt phẳng đó vẫn là mặt phẳng cần tìm. Tuy nhiên, trong trường hợp này, phương trình 12x + 4y + 3z – 48 = 0 đã ở dạng cơ bản nhất với các hệ số nguyên tố cùng nhau (hoặc có ước chung lớn nhất bằng 1 sau khi quy đồng), nên ta ưu tiên tìm đúng dạng này.

Tóm lại các bước giải:
1. Xác định dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \), với A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
2. Nhớ công thức tính tọa độ trọng tâm G của tứ diện OABC: \( G = \left( \frac{a}{4}; \frac{b}{4}; \frac{c}{4} \right) \).
3. Đồng nhất tọa độ của điểm G đã cho với công thức trọng tâm để tìm a, b, c.
4. Thay a, b, c vào phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn.
5. Quy đồng và đưa về phương trình mặt phẳng tổng quát.

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong học tập! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.