Phân tích bài toán

Lực điện tổng hợp do q1 và q3 tác dụng lên điện tích q2 cân bằng nhau. Điều này có nghĩa là véc-tơ lực do q1 tác dụng lên q2 (ký hiệu là \(\vec{F}_{12}\)) và véc-tơ lực do q3 tác dụng lên q2 (ký hiệu là \(\vec{F}_{32}\)) phải là hai véc-tơ bằng nhau về độ lớn và ngược chiều nhau.

Ta có biểu thức véc-tơ:
\[ \vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} = \vec{0} \]
\[ \Rightarrow \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32} \]
Điều này cho chúng ta hai thông tin quan trọng:
1. Về phương và chiều: \(\vec{F}_{12}\) và \(\vec{F}_{32}\) cùng phương, ngược chiều.
2. Về độ lớn: \(F_{12} = F_{32}\).

Bước 1: Biện luận vị trí của điểm B

– Vì ba điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng nên hai lực \(\vec{F}_{12}\) và \(\vec{F}_{32}\) luôn cùng phương.
– Để hai lực này ngược chiều nhau, điểm B phải nằm giữa hai điểm A và C.

Giải thích thêm:
Theo đề bài, ta có \(q_1 = 4q_3\), nghĩa là hai điện tích q1 và q3 cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm).
– Nếu B nằm ngoài đoạn AC, ví dụ B nằm về phía C (A-C-B), thì \(\vec{F}_{12}\) và \(\vec{F}_{32}\) sẽ cùng hướng (cùng hướng về B nếu q1, q3 trái dấu với q2; hoặc cùng hướng ra xa B nếu q1, q3 cùng dấu với q2). Do đó hai lực này không thể cân bằng. Tương tự nếu B nằm về phía A.
– Chỉ khi B nằm trong đoạn thẳng AC, \(\vec{F}_{12}\) và \(\vec{F}_{32}\) mới ngược chiều nhau.

Khi B nằm giữa A và C, ta có mối quan hệ về khoảng cách:
\[ AB + BC = AC = 60 \text{ cm} \]

Bước 2: Áp dụng công thức tính lực điện và thiết lập phương trình

Áp dụng định luật Coulomb cho độ lớn của lực điện:
– Lực do q1 tác dụng lên q2: \( F_{12} = k \frac{|q_1 q_2|}{AB^2} \)
– Lực do q3 tác dụng lên q2: \( F_{32} = k \frac{|q_3 q_2|}{BC^2} \)

Vì hai lực cân bằng về độ lớn, ta có: \( F_{12} = F_{32} \)
\[ k \frac{|q_1 q_2|}{AB^2} = k \frac{|q_3 q_2|}{BC^2} \]

Ta có thể giản ước các đại lượng giống nhau ở hai vế (với \(k \neq 0, q_2 \neq 0\)):
\[ \frac{|q_1|}{AB^2} = \frac{|q_3|}{BC^2} \]

Thay điều kiện của đề bài \(q_1 = 4q_3\), suy ra \(|q_1| = |4q_3| = 4|q_3|\) vào phương trình trên:
\[ \frac{4|q_3|}{AB^2} = \frac{|q_3|}{BC^2} \]

Giản ước \(|q_3|\) ở cả hai vế (vì để tồn tại lực thì \(q_3 \neq 0\)), ta được:
\[ \frac{4}{AB^2} = \frac{1}{BC^2} \]

Khai căn hai vế của phương trình, ta có (lưu ý rằng khoảng cách AB và BC luôn dương):
\[ \sqrt{\frac{4}{AB^2}} = \sqrt{\frac{1}{BC^2}} \]
\[ \frac{2}{AB} = \frac{1}{BC} \]
\[ \Rightarrow AB = 2BC \]

Bước 3: Giải hệ phương trình và tìm kết quả

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình với hai ẩn là AB và BC:
1. \(AB + BC = 60\)
2. \(AB = 2BC\)

Thế phương trình (2) vào phương trình (1), ta được:
\[ (2BC) + BC = 60 \]
\[ 3BC = 60 \]
\[ BC = \frac{60}{3} = 20 \text{ cm} \]

Từ đó, ta tính được AB:
\[ AB = 2BC = 2 \times 20 = 40 \text{ cm} \]

Kết luận

Vậy, điểm B cách điểm A một khoảng 40 cm và cách điểm C một khoảng 20 cm.

Thứ tự câu hỏi là “B cách A và C lần lượt là”, nên câu trả lời sẽ là 40cm và 20cm.

Đối chiếu với các phương án đã cho:

A. 20cm và 80cm

B. 80cm và 20cm

C. 40cm và 20cm

D. 20cm và 40cm

Đáp án chính xác là C.