Chào các em, đây là một dạng toán rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp quen thuộc đó là “biến đổi hằng đẳng thức”. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài này một cách chi tiết nhé.

Lời giải chi tiết

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho, ta sẽ biến đổi nó về dạng \(a(x-m)^2 + n\) với \(a > 0\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ là \(n\) khi \(x=m\).

Đặt \(A = 2x^2+3x-5\).

Bước 1: Đưa thừa số chung của hạng tử chứa \(x^2\) ra ngoài.

Ta có hệ số của \(x^2\) là 2, ta sẽ đặt 2 làm nhân tử chung cho hai hạng tử đầu tiên:

\[A = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) – 5\]

Bước 2: Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức “bình phương của một tổng” bên trong dấu ngoặc.

Bên trong ngoặc, ta có biểu thức \(x^2 + \frac{3}{2}x\). Để tạo hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), ta xác định:

– \(a^2\) tương ứng với \(x^2\), vậy \(a=x\).

– \(2ab\) tương ứng với \(\frac{3}{2}x\), suy ra \(2 \cdot x \cdot b = \frac{3}{2}x\). Từ đây ta tìm được \(b = \frac{3}{4}\).

– Vậy ta cần có \(b^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\) để tạo thành hằng đẳng thức.

Bây giờ ta thêm và bớt \(\frac{9}{16}\) vào trong dấu ngoặc:

\[A = 2(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{16} – \frac{9}{16}) – 5\]

Bước 3: Nhóm các hạng tử và rút gọn.

Nhóm ba hạng tử đầu tiên trong ngoặc để tạo thành hằng đẳng thức:

\[A = 2\left[ (x + \frac{3}{4})^2 – \frac{9}{16} \right] – 5\]

Bây giờ, ta nhân 2 vào trong và rút gọn:

\[A = 2(x + \frac{3}{4})^2 – 2 \cdot \frac{9}{16} – 5\]
\[A = 2(x + \frac{3}{4})^2 – \frac{9}{8} – 5\]
\[A = 2(x + \frac{3}{4})^2 – \frac{9}{8} – \frac{40}{8}\]
\[A = 2(x + \frac{3}{4})^2 – \frac{49}{8}\]

Bước 4: Lập luận để tìm giá trị nhỏ nhất.

Ta biết rằng bình phương của một số luôn không âm, tức là:

\[(x + \frac{3}{4})^2 \ge 0\] với mọi giá trị của \(x\).

Nhân cả hai vế với 2 (là một số dương), bất đẳng thức không đổi chiều:

\[2(x + \frac{3}{4})^2 \ge 0\] với mọi giá trị của \(x\).

Trừ cả hai vế cho \(\frac{49}{8}\), ta được:

\[2(x + \frac{3}{4})^2 – \frac{49}{8} \ge -\frac{49}{8}\] với mọi giá trị của \(x\).

Hay chính là:

\[A \ge -\frac{49}{8}\] với mọi giá trị của \(x\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(-\frac{49}{8}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\[x + \frac{3}{4} = 0\]
\[x = -\frac{3}{4}\]

Kết luận

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x^2+3x-5\) là \(-\frac{49}{8}\), đạt được khi \(x = -\frac{3}{4}\).

Chúc các em học tốt