Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng câu của bài toán này.

Câu a) Tọa độ của vecto AB. Tính chu vi tam giác ABC.

Đầu tiên, để tìm tọa độ của vectơ AB, chúng ta sẽ lấy tọa độ điểm cuối trừ đi tọa độ điểm đầu.

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B), tọa độ của vectơ AB được tính theo công thức:
\[ \vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A) \]

Trong bài toán này, ta có A(-1; 1) và B(1; 3).
Vậy, tọa độ của vectơ AB là:
\(\vec{AB} = (1 – (-1); 3 – 1) = (1 + 1; 2) = (2; 2)\)

Tiếp theo, chúng ta cần tính chu vi của tam giác ABC. Chu vi của tam giác ABC bằng tổng độ dài ba cạnh AB, BC và CA.
Để tính độ dài của một đoạn thẳng khi biết tọa độ hai điểm đầu mút, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

Cho hai điểm M(x_M; y_M) và N(x_N; y_N), độ dài đoạn thẳng MN được tính theo công thức:
\[ MN = \sqrt{(x_N – x_M)^2 + (y_N – y_M)^2} \]

Chúng ta đã có tọa độ vectơ AB, độ dài của AB cũng chính là độ dài của vectơ AB.
\(AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(1 – (-1))^2 + (3 – 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Bây giờ, ta tính độ dài cạnh BC. Cho B(1; 3) và C(5; 2).
\(BC = \sqrt{(5 – 1)^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)

Cuối cùng, ta tính độ dài cạnh CA. Cho C(5; 2) và A(-1; 1).
\(CA = \sqrt{(-1 – 5)^2 + (1 – 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\)

Vậy, chu vi của tam giác ABC là:
Chu vi = \(AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{37}\) (đơn vị độ dài).

Câu b) Tính tích vô hướng vecto AB. vecto BC.

Để tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có công thức:
Cho hai vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2)\) và \(\vec{v} = (v_1; v_2)\), tích vô hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Chúng ta đã có tọa độ của vectơ AB là \(\vec{AB} = (2; 2)\).
Bây giờ, ta cần tìm tọa độ của vectơ BC.
Cho B(1; 3) và C(5; 2).
\(\vec{BC} = (5 – 1; 2 – 3) = (4; -1)\)

Vậy, tích vô hướng của vectơ AB và vectơ BC là:
\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(4) + (2)(-1) = 8 – 2 = 6\)

Câu c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Để ABCD là hình bình hành, chúng ta có một số tính chất quan trọng. Một trong những tính chất đó là hai vectơ đối diện bằng nhau. Cụ thể, ta có \(\vec{AB} = \vec{DC}\) hoặc \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Chúng ta sẽ sử dụng tính chất \(\vec{AB} = \vec{DC}\) để tìm tọa độ điểm D.

Cho D(x_D; y_D) và C(5; 2).
Tọa độ của vectơ DC là:
\(\vec{DC} = (5 – x_D; 2 – y_D)\)

Chúng ta đã có \(\vec{AB} = (2; 2)\).
Do \(\vec{AB} = \vec{DC}\), ta có:
\((2; 2) = (5 – x_D; 2 – y_D)\)

Từ đây, ta lập hệ phương trình:
\(2 = 5 – x_D\)
\(2 = 2 – y_D\)

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình đầu tiên: \(x_D = 5 – 2 = 3\)
Từ phương trình thứ hai: \(y_D = 2 – 2 = 0\)

Vậy, tọa độ của điểm D là (3; 0).

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách sử dụng tính chất \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
Cho A(-1; 1) và D(3; 0).
\(\vec{AD} = (3 – (-1); 0 – 1) = (3 + 1; -1) = (4; -1)\)
Chúng ta đã tính \(\vec{BC} = (4; -1)\) ở câu b. Hai vectơ này bằng nhau, nên kết quả tìm D là đúng.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài tập. Các em có chỗ nào chưa hiểu không?