Chúng ta cùng nhau phân tích bài toán nhé.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định mục tiêu của bài toán.

Trước hết, chúng ta cần đặt các biến để biểu diễn số lượng đồ uống mỗi loại cần pha chế.
Gọi x là số cốc đồ uống loại A.
Gọi y là số cốc đồ uống loại B.

Mục tiêu của bài toán là tìm x và y sao cho tổng số điểm thưởng là cao nhất. Biểu thức biểu thị tổng số điểm thưởng là:
Tổng điểm = (số điểm của loại A) (số cốc loại A) + (số điểm của loại B) (số cốc loại B)
Tổng điểm = 6x + 8y.
Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức này.

Bước 2: Xác định các ràng buộc (điều kiện) của bài toán.

Các ràng buộc ở đây chính là giới hạn về nguyên liệu mà đội chơi được sử dụng.

* Giới hạn về hương liệu:
Để pha chế x cốc loại A cần 1x gam hương liệu.
Để pha chế y cốc loại B cần 4y gam hương liệu.
Tổng hương liệu sử dụng không quá 24g.
Ta có bất phương trình: x + 4y ≤ 24.

* Giới hạn về nước lọc:
Để pha chế x cốc loại A cần 1x cốc nước lọc.
Để pha chế y cốc loại B cần 1y cốc nước lọc.
Tổng nước lọc sử dụng không quá 9 cốc.
Ta có bất phương trình: x + y ≤ 9.

* Giới hạn về đường:
Để pha chế x cốc loại A cần 30x gam đường.
Để pha chế y cốc loại B cần 10y gam đường.
Tổng đường sử dụng không quá 210g.
Ta có bất phương trình: 30x + 10y ≤ 210.
Chúng ta có thể rút gọn bất phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 10: 3x + y ≤ 21.

* Điều kiện không âm:
Số cốc đồ uống không thể là số âm, vì vậy:
x ≥ 0
y ≥ 0

Như vậy, chúng ta đã có một hệ bất phương trình tuyến tính:
1) x + 4y ≤ 24
2) x + y ≤ 9
3) 3x + y ≤ 21
4) x ≥ 0
5) y ≥ 0

Bước 3: Biểu diễn miền ràng buộc trên hệ tọa độ Oxy.

Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm này sẽ là một đa giác lồi.

* Đường thẳng d1: x + 4y = 24.
Cho x = 0 => 4y = 24 => y = 6. Điểm (0, 6).
Cho y = 0 => x = 24. Điểm (24, 0).
Miền nghiệm của x + 4y ≤ 24 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa gốc tọa độ (vì 0 + 4*0 = 0 ≤ 24 đúng).

* Đường thẳng d2: x + y = 9.
Cho x = 0 => y = 9. Điểm (0, 9).
Cho y = 0 => x = 9. Điểm (9, 0).
Miền nghiệm của x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa gốc tọa độ (vì 0 + 0 = 0 ≤ 9 đúng).

* Đường thẳng d3: 3x + y = 21.
Cho x = 0 => y = 21. Điểm (0, 21).
Cho y = 0 => 3x = 21 => x = 7. Điểm (7, 0).
Miền nghiệm của 3x + y ≤ 21 là nửa mặt phẳng bờ d3 chứa gốc tọa độ (vì 3*0 + 0 = 0 ≤ 21 đúng).

* Các đường thẳng x = 0 (trục Oy) và y = 0 (trục Ox) giới hạn miền nghiệm nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Sau khi vẽ các đường thẳng này trên cùng một hệ tọa độ và gạch bỏ các phần không thỏa mãn bất phương trình, chúng ta sẽ thu được một miền đa giác lồi.

Bước 4: Tìm tọa độ các đỉnh của miền ràng buộc.

Các đỉnh của miền đa giác lồi là các giao điểm của các đường thẳng biên. Chúng ta cần tìm tọa độ của các đỉnh này.

* Giao điểm của trục Ox và trục Oy: Đây là gốc tọa độ O(0, 0).

* Giao điểm của trục Ox (y=0) và đường thẳng 3x + y = 21:
Thay y = 0 vào 3x + y = 21 ta được 3x = 21 => x = 7.
Đỉnh A có tọa độ (7, 0).

* Giao điểm của đường thẳng 3x + y = 21 và đường thẳng x + y = 9:
Ta có hệ phương trình:
{ 3x + y = 21
{ x + y = 9
Trừ vế theo vế của hai phương trình: (3x + y) – (x + y) = 21 – 9 => 2x = 12 => x = 6.
Thay x = 6 vào x + y = 9 ta được 6 + y = 9 => y = 3.
Đỉnh B có tọa độ (6, 3).

* Giao điểm của đường thẳng x + y = 9 và đường thẳng x + 4y = 24:
Ta có hệ phương trình:
{ x + y = 9
{ x + 4y = 24
Trừ vế theo vế của hai phương trình: (x + 4y) – (x + y) = 24 – 9 => 3y = 15 => y = 5.
Thay y = 5 vào x + y = 9 ta được x + 5 = 9 => x = 4.
Đỉnh C có tọa độ (4, 5).

* Giao điểm của trục Oy (x=0) và đường thẳng x + 4y = 24:
Thay x = 0 vào x + 4y = 24 ta được 4y = 24 => y = 6.
Đỉnh D có tọa độ (0, 6).

Các đỉnh của miền ràng buộc là O(0, 0), A(7, 0), B(6, 3), C(4, 5), D(0, 6).

Bước 5: Tính giá trị của biểu thức mục tiêu tại các đỉnh.

Theo lý thuyết về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm tuyến tính trên một miền đa giác lồi, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của miền đó. Chúng ta sẽ thay tọa độ của từng đỉnh vào biểu thức mục tiêu F(x, y) = 6x + 8y.

Tại O(0, 0): F(0, 0) = 6(0) + 8*(0) = 0.
Tại A(7, 0): F(7, 0) = 6(7) + 8*(0) = 42.
Tại B(6, 3): F(6, 3) = 6(6) + 8*(3) = 36 + 24 = 60.
Tại C(4, 5): F(4, 5) = 6(4) + 8*(5) = 24 + 40 = 64.
Tại D(0, 6): F(0, 6) = 6(0) + 8*(6) = 48.

Bước 6: Kết luận.

So sánh các giá trị của biểu thức mục tiêu tại các đỉnh, giá trị lớn nhất là 64, đạt được tại đỉnh C(4, 5).

Vậy, để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại A và 5 cốc đồ uống loại B. Khi đó, số điểm thưởng tối đa đạt được là 64 điểm.

Các em thấy không, bài toán này tuy có nhiều bước nhưng nếu chúng ta làm theo đúng quy trình, từng bước một thì sẽ rất dễ dàng. Các em hãy luyện tập thêm với các bài toán tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Cô tin là các em sẽ làm được!