Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất điển hình của dạng “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” trong chương trình Toán lớp 9. Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải đọc kỹ đề, phân tích các dữ kiện và chuyển chúng thành một phương trình toán học. Chúng ta hãy cùng nhau làm bài này nhé.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Phân tích đề bài, chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Bài toán hỏi “bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế”, vì vậy chúng ta sẽ đặt đại lượng này làm ẩn số.

Gọi số dãy ghế bình thường có trong phòng là \(x\).

Điều kiện: Vì số dãy ghế không thể là số âm hay số thập phân, nên \(x\) phải là một số nguyên dương. Tức là \(x \in \mathbb{N}^*\).

Từ dữ kiện “có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau”, ta có thể biểu diễn số ghế trong mỗi dãy theo ẩn \(x\):
– Số ghế trong mỗi dãy lúc đầu là: \(\frac{360}{x}\) (ghế).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và lập phương trình

Bây giờ, chúng ta phân tích các thay đổi của phòng họp:
– “phải xếp thêm một dãy ghế”: Số dãy ghế lúc sau là \(x + 1\) (dãy).
– “mỗi dãy tăng 1 ghế”: Số ghế trong mỗi dãy lúc sau là \(\frac{360}{x} + 1\) (ghế).
– Lúc này, phòng họp đủ chỗ cho “400 đại biểu”, nghĩa là tổng số ghế lúc sau là 400 ghế.

Ta biết rằng: (Số dãy ghế lúc sau) × (Số ghế trong mỗi dãy lúc sau) = Tổng số ghế lúc sau.
Từ đó, ta lập được phương trình:
\[ (x + 1) \left( \frac{360}{x} + 1 \right) = 400 \]

Bước 3: Giải phương trình

Ta tiến hành biến đổi và giải phương trình vừa lập được:
\[ (x + 1) \left( \frac{360}{x} + 1 \right) = 400 \]
Nhân phân phối, ta có:
\[ x \cdot \frac{360}{x} + x \cdot 1 + 1 \cdot \frac{360}{x} + 1 \cdot 1 = 400 \]
\[ 360 + x + \frac{360}{x} + 1 = 400 \]
\[ x + \frac{360}{x} + 361 = 400 \]
\[ x + \frac{360}{x} = 400 – 361 \]
\[ x + \frac{360}{x} = 39 \]
Để khử mẫu, ta nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) (với điều kiện \(x \neq 0\) đã được đảm bảo ở trên).
\[ x^2 + 360 = 39x \]
Chuyển vế để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x^2 – 39x + 360 = 0 \]
Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Cô sẽ tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-39)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 – 1440 = 81 \]
Vì \(\Delta = 81 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{81} = 9 \]
Hai nghiệm của phương trình là:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{39 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24 \]
\[ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{39 – 9}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15 \]

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận

Ta thấy cả hai giá trị \(x_1 = 24\) và \(x_2 = 15\) đều là các số nguyên dương, nên cả hai đều thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Chúng ta hãy thử lại cả hai trường hợp:
– Trường hợp 1: Nếu ban đầu có 15 dãy ghế (\(x=15\)).
Số ghế mỗi dãy là: \(\frac{360}{15} = 24\) ghế.
Lúc sau: có \(15 + 1 = 16\) dãy, mỗi dãy có \(24 + 1 = 25\) ghế.
Tổng số ghế: \(16 \times 25 = 400\) ghế (Đúng).

– Trường hợp 2: Nếu ban đầu có 24 dãy ghế (\(x=24\)).
Số ghế mỗi dãy là: \(\frac{360}{24} = 15\) ghế.
Lúc sau: có \(24 + 1 = 25\) dãy, mỗi dãy có \(15 + 1 = 16\) ghế.
Tổng số ghế: \(25 \times 16 = 400\) ghế (Đúng).

Cả hai trường hợp đều hợp lý với các dữ kiện của bài toán. Vì vậy, bài toán này có hai đáp số.

Vậy, bình thường trong phòng có thể có 15 dãy ghế hoặc 24 dãy ghế.

Chúc các em học tốt