Chào các em, cô rất vui được cùng các em tìm hiểu một trong những tính chất quan trọng và thú vị nhất của các hàm số lượng giác, đó là tính tuần hoàn. Việc hiểu rõ vì sao các hàm số này lại lặp đi lặp lại giá trị của mình sẽ giúp các em nắm vững bản chất của chúng.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích từng hàm số một cách chi tiết, dựa trên kiến thức trong Sách giáo khoa Toán 11 nhé.

Trước hết, các em cần nhớ lại định nghĩa về hàm số tuần hoàn:
Hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\), ta có:
1. \(x – T \in D\) và \(x + T \in D\)
2. \(f(x + T) = f(x)\)

Số dương \(T\) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì tuần hoàn (hay chu kì cơ sở) của hàm số \(f(x)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa này để giải thích cho từng hàm số.

1. Vì sao hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π

Bước 1: Chứng minh số \(2\pi\) là một chu kì của hàm số \(y = sinx\).
Hàm số \(y = sinx\) có tập xác định là D = R.
Các em hãy nhớ lại đường tròn lượng giác. Một điểm M trên đường tròn lượng giác được xác định bởi số đo cung lượng giác \(x\). Tọa độ của điểm M là \((cosx, sinx)\).
Khi ta cộng thêm \(2\pi\) vào số đo \(x\), tức là \(x + 2\pi\), điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác sẽ quay đúng một vòng tròn và trở về đúng vị trí của điểm M ban đầu.
Điều này có nghĩa là điểm biểu diễn cho cung \(x\) và cung \(x + 2\pi\) là trùng nhau.
Vì vậy, tung độ của chúng phải bằng nhau.
Ta có:
\[sin(x + 2\pi) = sinx, \text{ với mọi } x \in R\]
Theo định nghĩa, điều này chứng tỏ hàm số \(y = sinx\) là một hàm số tuần hoàn và \(2\pi\) là một chu kì của nó.

Bước 2: Chứng minh \(2\pi\) là chu kì nhỏ nhất.
Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng không có số dương \(T\) nào nhỏ hơn \(2\pi\) mà vẫn thỏa mãn \(sin(x + T) = sinx\) với mọi \(x\).
Giả sử có một số \(T\) sao cho \(0 < T < 2\pi\) và \(sin(x + T) = sinx\) với mọi \(x\). Vì đẳng thức này đúng với mọi \(x\), ta hãy chọn một giá trị \(x\) đặc biệt, ví dụ \(x = \frac{\pi}{2}\). Khi đó, ta phải có: \[sin(\frac{\pi}{2} + T) = sin(\frac{\pi}{2})\] \[sin(\frac{\pi}{2} + T) = 1\] Chúng ta biết rằng \(sina = 1\) khi và chỉ khi \(a = \frac{\pi}{2} + k2\pi\) (với k là số nguyên). Do đó, ta phải có: \[\frac{\pi}{2} + T = \frac{\pi}{2} + k2\pi\] \[T = k2\pi \quad (k \in Z)\] Vì ta giả sử \(T > 0\) nên \(k\) phải là số nguyên dương (\(k = 1, 2, 3,…\)).
Nếu \(k = 1\), ta có \(T = 2\pi\).
Nếu \(k = 2\), ta có \(T = 4\pi\).
…
Vậy, giá trị dương nhỏ nhất của \(T\) phải là \(2\pi\). Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu của chúng ta là \(0 < T < 2\pi\). Do đó, không tồn tại số dương \(T\) nào nhỏ hơn \(2\pi\) là chu kì của hàm số \(y = sinx\). Kết luận: Hàm số \(y = sinx\) tuần hoàn với chu kì cơ sở là \(2\pi\).

2. Vì sao hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π

Lí giải hoàn toàn tương tự như hàm số \(y = sinx\).

Bước 1: Chứng minh số \(2\pi\) là một chu kì của hàm số \(y = cosx\).
Hàm số \(y = cosx\) có tập xác định là D = R.
Như đã nói ở trên, điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác cho cung \(x\) và cung \(x + 2\pi\) là trùng nhau.
Vì vậy, hoành độ của chúng cũng phải bằng nhau.
Ta có:
\[cos(x + 2\pi) = cosx, \text{ với mọi } x \in R\]
Điều này chứng tỏ hàm số \(y = cosx\) là một hàm số tuần hoàn và \(2\pi\) là một chu kì của nó.

Bước 2: Chứng minh \(2\pi\) là chu kì nhỏ nhất.
Giả sử có một số \(T\) sao cho \(0 < T < 2\pi\) và \(cos(x + T) = cosx\) với mọi \(x\). Ta chọn một giá trị \(x\) đặc biệt, ví dụ \(x = 0\). Khi đó, ta phải có: \[cos(0 + T) = cos(0)\] \[cos(T) = 1\] Chúng ta biết rằng \(cosa = 1\) khi và chỉ khi \(a = k2\pi\) (với k là số nguyên). Do đó, ta phải có: \[T = k2\pi \quad (k \in Z)\] Vì ta giả sử \(T > 0\) nên \(k\) phải là số nguyên dương (\(k = 1, 2, 3,…\)).
Giá trị dương nhỏ nhất của \(T\) là \(2\pi\) (khi \(k = 1\)). Điều này mâu thuẫn với giả sử \(0 < T < 2\pi\). Do đó, không tồn tại số dương \(T\) nào nhỏ hơn \(2\pi\) là chu kì của hàm số \(y = cosx\). Kết luận: Hàm số \(y = cosx\) tuần hoàn với chu kì cơ sở là \(2\pi\).

3. Vì sao hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π

Bước 1: Chứng minh số \(\pi\) là một chu kì của hàm số \(y = tanx\).
Hàm số \(y = tanx = \frac{sinx}{cosx}\) có tập xác định là \(D = R \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\}\).
Với mọi \(x \in D\), ta có \(x + \pi\) cũng thuộc \(D\).
Ta xét:
\[tan(x + \pi) = \frac{sin(x + \pi)}{cos(x + \pi)}\]
Các em hãy nhớ lại công thức liên quan đến cung hơn kém \(\pi\):
\(sin(x + \pi) = -sinx\)
\(cos(x + \pi) = -cosx\)
Thay vào biểu thức trên, ta được:
\[tan(x + \pi) = \frac{-sinx}{-cosx} = \frac{sinx}{cosx} = tanx\]
Điều này chứng tỏ \(y = tanx\) là hàm số tuần hoàn và \(\pi\) là một chu kì của nó.

Bước 2: Chứng minh \(\pi\) là chu kì nhỏ nhất.
Giả sử có một số \(T\) sao cho \(0 < T < \pi\) và \(tan(x + T) = tanx\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định. Ta chọn một giá trị \(x\) đặc biệt, ví dụ \(x = 0\). Khi đó, ta phải có: \[tan(0 + T) = tan(0)\] \[tan(T) = 0\] Chúng ta biết rằng \(tana = 0\) khi và chỉ khi \(a = k\pi\) (với k là số nguyên). Do đó, ta phải có: \[T = k\pi \quad (k \in Z)\] Vì ta giả sử \(T > 0\), nên \(k\) phải là số nguyên dương (\(k = 1, 2, 3,…\)).
Giá trị dương nhỏ nhất của \(T\) là \(\pi\) (khi \(k = 1\)). Điều này mâu thuẫn với giả sử \(0 < T < \pi\). Do đó, không tồn tại số dương \(T\) nào nhỏ hơn \(\pi\) là chu kì của hàm số \(y = tanx\). Kết luận: Hàm số \(y = tanx\) tuần hoàn với chu kì cơ sở là \(\pi\).

4. Vì sao hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π

Lí giải hoàn toàn tương tự như hàm số \(y = tanx\).

Bước 1: Chứng minh số \(\pi\) là một chu kì của hàm số \(y = cotx\).
Hàm số \(y = cotx = \frac{cosx}{sinx}\) có tập xác định là \(D = R \setminus \{k\pi, k \in Z\}\).
Với mọi \(x \in D\), ta có \(x + \pi\) cũng thuộc \(D\).
Ta xét:
\[cot(x + \pi) = \frac{cos(x + \pi)}{sin(x + \pi)}\]
Sử dụng lại công thức \(sin(x + \pi) = -sinx\) và \(cos(x + \pi) = -cosx\), ta có:
\[cot(x + \pi) = \frac{-cosx}{-sinx} = \frac{cosx}{sinx} = cotx\]
Điều này chứng tỏ \(y = cotx\) là hàm số tuần hoàn và \(\pi\) là một chu kì của nó.

Bước 2: Chứng minh \(\pi\) là chu kì nhỏ nhất.
Giả sử có một số \(T\) sao cho \(0 < T < \pi\) và \(cot(x + T) = cotx\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định. Ta chọn một giá trị \(x\) đặc biệt, ví dụ \(x = \frac{\pi}{2}\). Khi đó, ta phải có: \[cot(\frac{\pi}{2} + T) = cot(\frac{\pi}{2})\] \[cot(\frac{\pi}{2} + T) = 0\] Chúng ta biết rằng \(cota = 0\) khi và chỉ khi \(a = \frac{\pi}{2} + k\pi\) (với k là số nguyên). Do đó, ta phải có: \[\frac{\pi}{2} + T = \frac{\pi}{2} + k\pi\] \[T = k\pi \quad (k \in Z)\] Vì ta giả sử \(T > 0\), nên \(k\) phải là số nguyên dương (\(k = 1, 2, 3,…\)).
Giá trị dương nhỏ nhất của \(T\) là \(\pi\) (khi \(k = 1\)). Điều này mâu thuẫn với giả sử \(0 < T < \pi\). Do đó, không tồn tại số dương \(T\) nào nhỏ hơn \(\pi\) là chu kì của hàm số \(y = cotx\). Kết luận: Hàm số \(y = cotx\) tuần hoàn với chu kì cơ sở là \(\pi\).

Hi vọng với cách giải thích chi tiết từng bước này, các em đã hiểu rõ tại sao các hàm số lượng giác lại có những chu kì đặc trưng như vậy. Đây là kiến thức nền tảng rất quan trọng, các em hãy ghi nhớ thật kỹ nhé! Chúc các em học tốt