Chào em, cô nhận được câu hỏi của em rồi. Em đừng lo lắng quá nhé, dạng bài tập này rất quen thuộc trong chương trình Toán 8 và chỉ cần em nắm vững công thức là có thể làm được ngay. Chúng ta cùng nhau giải quyết để chiều nay em đi học thật tự tin nhé!

Phân tích bài toán
Để viết các biểu thức đã cho dưới dạng tích, hay còn gọi là “phân tích đa thức thành nhân tử”, chúng ta cần nhận ra dạng của chúng. Cả bốn biểu thức em hỏi đều thuộc dạng tổng hoặc hiệu của hai lập phương.
Vì vậy, phương pháp giải là áp dụng hai hằng đẳng thức đáng nhớ sau đây:

• Tổng hai lập phương: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
• Hiệu hai lập phương: \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)

Nhiệm vụ chính của chúng ta là xác định chính xác các biểu thức \(A\) và \(B\) trong mỗi câu, sau đó thay vào công thức tương ứng.

Lời giải chi tiết

a) \(x^3 + 1\)

• Bước 1: Nhận dạng và xác định A, B.
  Biểu thức này có dạng tổng của hai lập phương. Ta có thể viết lại là: \(x^3 + 1^3\).
  Như vậy, ta xác định được: \(A = x\) và \(B = 1\).
• Bước 2: Áp dụng công thức tổng hai lập phương.
  \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
  Thay \(A = x\) và \(B = 1\) vào công thức, ta có:
  \(x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 – x \cdot 1 + 1^2)\)
• Bước 3: Rút gọn biểu thức.
  \((x + 1)(x^2 – x + 1)\)

Kết quả cuối cùng: \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)\)

b) \(x^3 – \frac{1}{27}\)

• Bước 1: Nhận dạng và xác định A, B.
  Biểu thức này có dạng hiệu của hai lập phương. Ta nhận thấy \(\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3\).
  Do đó, biểu thức được viết lại là: \(x^3 – (\frac{1}{3})^3\).
  Ta xác định được: \(A = x\) và \(B = \frac{1}{3}\).
• Bước 2: Áp dụng công thức hiệu hai lập phương.
  \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)
  Thay \(A = x\) và \(B = \frac{1}{3}\) vào, ta được:
  \(x^3 – (\frac{1}{3})^3 = (x – \frac{1}{3})(x^2 + x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2)\)
• Bước 3: Rút gọn biểu thức.
  \((x – \frac{1}{3})(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})\)

Kết quả cuối cùng: \(x^3 – \frac{1}{27} = (x – \frac{1}{3})(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})\)

c) \(x^3 – 27y^3\)

• Bước 1: Nhận dạng và xác định A, B.
  Đây là dạng hiệu hai lập phương. Ta thấy \(27y^3 = (3y)^3\).
  Biểu thức được viết lại là: \(x^3 – (3y)^3\).
  Vậy, ta có: \(A = x\) và \(B = 3y\).
• Bước 2: Áp dụng công thức hiệu hai lập phương.
  \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\)
  Thay \(A = x\) và \(B = 3y\) vào, ta có:
  \(x^3 – (3y)^3 = (x – 3y)(x^2 + x \cdot (3y) + (3y)^2)\)
• Bước 3: Rút gọn biểu thức.
  \((x – 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)\)

Kết quả cuối cùng: \(x^3 – 27y^3 = (x – 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)\)

d) \(27x^3 + 8y^3\)

• Bước 1: Nhận dạng và xác định A, B.
  Đây là dạng tổng hai lập phương. Ta viết lại các số hạng:
  \(27x^3 = (3x)^3\)
  \(8y^3 = (2y)^3\)
  Biểu thức trở thành: \((3x)^3 + (2y)^3\).
  Vậy, ta xác định: \(A = 3x\) và \(B = 2y\).
• Bước 2: Áp dụng công thức tổng hai lập phương.
  \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\)
  Thay \(A = 3x\) và \(B = 2y\) vào, ta có:
  \((3x)^3 + (2y)^3 = (3x + 2y)((3x)^2 – (3x)(2y) + (2y)^2)\)
• Bước 3: Rút gọn biểu thức.
  Lưu ý tính toán cẩn thận các luỹ thừa và phép nhân nhé:
  \((3x + 2y)(9x^2 – 6xy + 4y^2)\)

Kết quả cuối cùng: \(27x^3 + 8y^3 = (3x + 2y)(9x^2 – 6xy + 4y^2)\)

Cô đã hướng dẫn em chi tiết từng bước rồi đó. Em thấy không, mấu chốt của dạng bài này là nhận ra hằng đẳng thức và xác định đúng các biểu thức A, B. Em hãy xem lại bài giải, ghi nhớ thật kỹ hai công thức quan trọng này và thử tự làm lại vào vở nhé.

Chúc em chiều nay đi học thật tự tin và học tốt