Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em đi chứng minh một trong những công thức nền tảng và quan trọng nhất của hình học tọa độ lớp 10. Đó là công thức tính tọa độ của một vectơ khi biết tọa độ hai điểm đầu và cuối. Công thức này xuất hiện trong cả ba bộ sách giáo khoa mới và là chìa khóa để giải quyết rất nhiều bài toán sau này.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước để hiểu rõ bản chất của vấn đề nhé.

CHỨNG MINH CÔNG THỨC TỌA ĐỘ VECTƠ \(\vec{AB}\)

• Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm (hay quy tắc hiệu) cho vectơ.
  Lý do: Đây là một quy tắc cơ bản về phép toán vectơ, cho phép chúng ta biểu diễn một vectơ qua hai vectơ khác có chung điểm gốc. Việc chèn điểm O (gốc tọa độ) vào là một kỹ thuật rất phổ biến và hiệu quả trong hình học tọa độ để liên kết với các vectơ vị trí.

  Với ba điểm bất kỳ A, B và O (gốc tọa độ của hệ trục Oxy), ta luôn có quy tắc hiệu vectơ:
  \[\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\]
  Đây là một hệ quả của quy tắc cộng vectơ \(\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}\).

• Bước 2: Biểu diễn các vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) theo tọa độ của chúng.
  Lý do: Theo định nghĩa về tọa độ của một điểm trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ vị trí của điểm đó (tức là vectơ có điểm đầu là gốc tọa độ O và điểm cuối là điểm đó).
  • Điểm A có tọa độ là \(A(x_A; y_A)\), do đó vectơ vị trí \(\vec{OA}\) có tọa độ là:
    \[\vec{OA} = (x_A; y_A)\]
  • Tương tự, điểm B có tọa độ là \(B(x_B; y_B)\), do đó vectơ vị trí \(\vec{OB}\) có tọa độ là:
    \[\vec{OB} = (x_B; y_B)\]
• Bước 3: Thay thế và thực hiện phép trừ hai vectơ.
  Lý do: Chúng ta sẽ thay tọa độ của các vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) đã tìm ở Bước 2 vào biểu thức ở Bước 1. Phép trừ hai vectơ có tọa độ cho trước được thực hiện bằng cách trừ các thành phần tọa độ tương ứng (hoành độ trừ hoành độ, tung độ trừ tung độ).

  Thay tọa độ từ Bước 2 vào công thức \(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\), ta được:
  \[\vec{AB} = (x_B; y_B) – (x_A; y_A)\]
  Thực hiện phép trừ tọa độ, ta lấy hoành độ tương ứng trừ nhau và tung độ tương ứng trừ nhau:
  \[\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\]

KẾT LUẬN
Như vậy, qua ba bước đơn giản, chúng ta đã chứng minh được rằng với hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\) cho trước, tọa độ của vectơ \(\vec{AB}\) được xác định bởi công thức:
\[\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\]
Đây chính là điều phải chứng minh.

Các em hãy ghi nhớ quy tắc này: “Muốn tìm tọa độ của một vectơ, ta lấy tọa độ điểm cuối trừ đi tọa độ điểm đầu”. Đây là một công thức cực kỳ hữu ích và sẽ được áp dụng rất thường xuyên trong các bài tập về hình học tọa độ phẳng.

Chúc các em học tốt