Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý!
Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về tính chất của biểu thức số nguyên. Bài toán yêu cầu chúng ta xác định tính đúng sai của mệnh đề: “Với x∈Z thì x⁸+x⁴+1 là một số nguyên dương”.

Chúng ta sẽ đi vào phần lời giải chi tiết từng bước nhé!

Bước 1: Phân tích biểu thức và điều kiện của biến
Biểu thức cần xét là P(x) = x⁸ + x⁴ + 1.
Điều kiện cho biến x là x ∈ Z, tức là x là một số nguyên (có thể âm, dương hoặc bằng 0).

Bước 2: Biến đổi biểu thức để dễ dàng đánh giá dấu
Cô nhận thấy rằng biểu thức có dạng x⁸ và x⁴, đây là các lũy thừa bậc chẵn. Chúng ta có thể nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức hoặc nhóm các số hạng.
Quan sát kỹ hơn, cô có một ý tưởng là “tách và ghép” để xuất hiện hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ta có thể viết lại biểu thức như sau:
P(x) = x⁸ + x⁴ + 1
P(x) = (x⁸ + 2x⁴ + 1) – x⁴
Ở đây, cô đã cộng thêm x⁴ vào rồi trừ đi x⁴ để không làm thay đổi giá trị của biểu thức. Mục đích là để tạo ra hằng đẳng thức.

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức
Phần trong ngoặc (x⁸ + 2x⁴ + 1) chính là dạng bình phương của một tổng. Cụ thể, nó có dạng (a + b)² = a² + 2ab + b².
Với a = x⁴ và b = 1, ta có:
(x⁴ + 1)² = (x⁴)² + 2(x⁴)(1) + 1² = x⁸ + 2x⁴ + 1.
Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
P(x) = (x⁴ + 1)² – x⁴
Bây giờ, chúng ta lại thấy x⁴ cũng là một lũy thừa bậc chẵn. Chúng ta có thể coi nó là bình phương của x², tức là x⁴ = (x²)².
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương a² – b² = (a – b)(a + b), với a = x⁴ + 1 và b = x², ta có:
P(x) = [(x⁴ + 1) – x²] [(x⁴ + 1) + x²]
P(x) = (x⁴ – x² + 1) (x⁴ + x² + 1)

Bước 4: Đánh giá dấu của từng nhân tử với x ∈ Z
Bây giờ chúng ta cần xem xét dấu của hai nhân tử: (x⁴ – x² + 1) và (x⁴ + x² + 1).
* Xét nhân tử thứ hai: (x⁴ + x² + 1)
Vì x ∈ Z, nên x⁴ = (x²)² ≥ 0 và x² ≥ 0.
Do đó, x⁴ + x² ≥ 0.
Suy ra, x⁴ + x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1.
Vậy, nhân tử (x⁴ + x² + 1) luôn là một số nguyên dương với mọi x ∈ Z.

* Xét nhân tử thứ nhất: (x⁴ – x² + 1)
Tương tự như trên, x⁴ ≥ 0 và x² ≥ 0.
Ta có thể viết lại nhân tử này như sau:
x⁴ – x² + 1 = (x⁴ – 2x² + 1) + x² = (x² – 1)² + x².
(Ở đây, cô đã “tách” x² thành -2x² + x² để tạo ra hằng đẳng thức (x²-1)²).
Vì (x² – 1)² ≥ 0 (bình phương của một số luôn không âm) và x² ≥ 0 (bình phương của một số cũng luôn không âm).
Do đó, (x² – 1)² + x² ≥ 0 + 0 = 0.
Vậy, nhân tử (x⁴ – x² + 1) luôn là một số nguyên không âm với mọi x ∈ Z.

Bước 5: Kết luận về dấu của biểu thức P(x)
Chúng ta đã có P(x) = (x⁴ – x² + 1) (x⁴ + x² + 1).
Nhân tử (x⁴ + x² + 1) luôn dương (≥ 1).
Nhân tử (x⁴ – x² + 1) luôn không âm (≥ 0).
Khi nhân một số không âm với một số dương, ta được một số không âm.
Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét trường hợp P(x) có thể bằng 0 hay không.
P(x) = 0 khi một trong hai nhân tử bằng 0.
Nhân tử (x⁴ + x² + 1) luôn ≥ 1, nên nó không bao giờ bằng 0.
Nhân tử (x⁴ – x² + 1) bằng 0 khi (x² – 1)² + x² = 0.
Điều này chỉ xảy ra khi cả (x² – 1)² = 0 và x² = 0 đồng thời.
Nếu x² = 0 thì x = 0.
Nếu x = 0, ta thay vào (x² – 1)² = (0² – 1)² = (-1)² = 1 ≠ 0.
Do đó, không có giá trị nguyên nào của x để (x⁴ – x² + 1) bằng 0.
Vậy, (x⁴ – x² + 1) luôn là một số nguyên dương với mọi x ∈ Z.
(Tại sao? Vì nó không âm và không bao giờ bằng 0).

Vì P(x) là tích của hai số nguyên dương (nhân tử thứ nhất luôn dương và nhân tử thứ hai luôn dương), nên P(x) = x⁸ + x⁴ + 1 luôn là một số nguyên dương với mọi x ∈ Z.

Bước 6: Xác định tính đúng sai của mệnh đề
Mệnh đề cho rằng “Với x∈Z thì x⁸+x⁴+1 là một số nguyên dương”.
Dựa vào kết quả phân tích ở Bước 5, chúng ta thấy điều này là đúng.

Kết luận: Đúng

Cô hy vọng cách trình bày chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán. Hãy nhớ rằng, việc biến đổi biểu thức và đánh giá dấu cẩn thận là chìa khóa để giải quyết các bài toán dạng này nhé!