Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị nằm trong chương trình Đại số lớp 8 của chúng ta. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về đa thức, đặc biệt là phép nhân đa thức và hằng đẳng thức.

Bài toán của chúng ta là:
(x-1)^2(x-3)+(x-1)^2(x+3)=72

Các em hãy cùng thầy theo dõi từng bước giải nhé.

Bước 1: Nhận dạng nhân tử chung và nhóm lại.
Các em quan sát hai hạng tử ở vế trái của phương trình: (x-1)^2(x-3) và (x-1)^2(x+3).
Chúng ta thấy rằng cả hai hạng tử này đều có chứa nhân tử chung là (x-1)^2.
Vì vậy, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài dấu ngoặc.

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có:
a.b + a.c = a.(b+c)
Ở đây, a = (x-1)^2, b = (x-3), và c = (x+3).

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
(x-1)^2 [ (x-3) + (x+3) ] = 72

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông.
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép cộng các đơn thức trong ngoặc vuông: (x-3) + (x+3).
(x-3) + (x+3) = x – 3 + x + 3
= (x+x) + (-3+3)
= 2x + 0
= 2x

Thay kết quả này vào phương trình ở Bước 1, ta được:
(x-1)^2 (2x) = 72

Bước 3: Chia cả hai vế cho 2 (nếu có thể).
Quan sát phương trình: (x-1)^2 (2x) = 72.
Cả hai vế của phương trình đều chia hết cho 2. Việc này sẽ giúp cho các phép tính ở các bước tiếp theo đơn giản hơn.

Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta có:
(x-1)^2 (2x) / 2 = 72 / 2
(x-1)^2 x = 36

Bước 4: Khai triển biểu thức (x-1)^2.
Ở đây, chúng ta cần sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
Với a = x và b = 1, ta có:
(x-1)^2 = x^2 – 2.x.1 + 1^2
= x^2 – 2x + 1

Thay biểu thức đã khai triển này vào phương trình ở Bước 3, ta được:
(x^2 – 2x + 1) x = 36

Bước 5: Nhân đa thức với đơn thức.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân đơn thức x với đa thức (x^2 – 2x + 1).
Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức:
a(b+c+d) = ab + ac + ad
Ở đây, a = x, b = x^2, c = -2x, d = 1.

Ta có:
x(x^2 – 2x + 1) = x.x^2 – x.2x + x.1
= x^3 – 2x^2 + x

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
x^3 – 2x^2 + x = 36

Bước 6: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc ba.
Để giải phương trình bậc ba, chúng ta cần đưa tất cả các hạng tử về một vế và cho vế còn lại bằng 0.

Chuyển 36 từ vế phải sang vế trái:
x^3 – 2x^2 + x – 36 = 0

Bước 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc ba (sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ).
Đây là bước có thể gây khó khăn cho một số bạn. Đối với phương trình bậc ba có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do (d) chia cho ước của hệ số bậc cao nhất (a).
Trong phương trình x^3 – 2x^2 + x – 36 = 0, hệ số a = 1 và hệ số tự do d = -36.
Do đó, nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ước của -36.

Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên là ước của 36 để xem giá trị nào làm cho vế trái bằng 0. Các ước của 36 là: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36.

Thử với x = 1: 1^3 – 2(1)^2 + 1 – 36 = 1 – 2 + 1 – 36 = -36 ≠ 0
Thử với x = 2: 2^3 – 2(2)^2 + 2 – 36 = 8 – 8 + 2 – 36 = -34 ≠ 0
Thử với x = 3: 3^3 – 2(3)^2 + 3 – 36 = 27 – 18 + 3 – 36 = 9 + 3 – 36 = 12 – 36 = -24 ≠ 0
Thử với x = 4: 4^3 – 2(4)^2 + 4 – 36 = 64 – 2(16) + 4 – 36 = 64 – 32 + 4 – 36 = 32 + 4 – 36 = 36 – 36 = 0

Vậy, x = 4 là một nghiệm của phương trình.

Bước 8: Chia đa thức cho (x – nghiệm đã tìm được).
Vì x = 4 là một nghiệm, nên đa thức x^3 – 2x^2 + x – 36 phải chia hết cho (x – 4).
Chúng ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc tách hạng tử để thực hiện việc này. Ở đây, thầy sẽ hướng dẫn các em cách tách hạng tử.

Ta cần biểu diễn x^3 – 2x^2 + x – 36 sao cho xuất hiện nhân tử (x-4).

x^3 – 2x^2 + x – 36 = 0
Ta tách -2x^2 thành -4x^2 + 2x^2 để nhóm với x^3:
x^3 – 4x^2 + 2x^2 + x – 36 = 0
Nhóm x^3 và -4x^2:
x^2(x – 4) + 2x^2 + x – 36 = 0

Bây giờ, ta cần xử lý phần còn lại 2x^2 + x – 36. Ta cần làm xuất hiện nhân tử (x-4) từ đây.
Ta tách 2x^2 thành 8x^2 – 6x^2, mục đích là để nhóm với x. Nhưng cách này không ổn lắm.
Ta sẽ thử tách theo cách khác:
x^3 – 4x^2 + 2x^2 – 8x + 9x – 36 = 0
Nhóm các hạng tử lại:
(x^3 – 4x^2) + (2x^2 – 8x) + (9x – 36) = 0
Lấy nhân tử chung ra khỏi từng nhóm:
x^2(x – 4) + 2x(x – 4) + 9(x – 4) = 0

Bây giờ, chúng ta thấy nhân tử chung (x-4) đã xuất hiện ở tất cả các nhóm.
Đặt nhân tử chung (x-4) ra ngoài:
(x – 4) (x^2 + 2x + 9) = 0

Bước 9: Giải phương trình tích.
Phương trình (x – 4) (x^2 + 2x + 9) = 0 tương đương với:
Hoặc x – 4 = 0
Hoặc x^2 + 2x + 9 = 0

Trường hợp 1: x – 4 = 0
Suy ra x = 4.

Trường hợp 2: x^2 + 2x + 9 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Để kiểm tra xem phương trình này có nghiệm thực hay không, chúng ta sẽ tính biệt thức Delta (Δ).
Công thức tính biệt thức Delta cho phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 là:
Δ = b^2 – 4ac

Trong phương trình x^2 + 2x + 9 = 0, ta có:
a = 1
b = 2
c = 9

Tính Delta:
Δ = (2)^2 – 4(1)(9)
Δ = 4 – 36
Δ = -32

Vì Δ < 0, nên phương trình bậc hai x^2 + 2x + 9 = 0 vô nghiệm (trong tập số thực). Bước 10: Kết luận.
Từ hai trường hợp trên, chúng ta thấy rằng phương trình ban đầu chỉ có một nghiệm thực duy nhất.

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.

Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các kỹ năng về biến đổi đại số và hằng đẳng thức. Quan trọng nhất là chúng ta phải kiên nhẫn và thực hiện từng bước một cách cẩn thận.

Chúc các em học tốt!