Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về lũy thừa. Bài toán này có thể xuất hiện trong chương trình Toán lớp 7 của cả ba bộ sách: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều. Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước thật cẩn thận nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định dạng toán
Đề bài cho biểu thức: (x-7)^(x+1)-(x-7)^x+11.
Đây là một bài toán liên quan đến việc rút gọn biểu thức chứa lũy thừa. Chúng ta cần nhận ra các cơ số giống nhau và số mũ có liên quan.

Bước 2: Vận dụng quy tắc về lũy thừa
Chúng ta nhận thấy có hai số hạng đầu tiên có cùng cơ số là (x-7). Ta sẽ sử dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: a^m / a^n = a^(m-n), hoặc ngược lại, a^(m+n) = a^m * a^n.
Trong trường hợp này, ta sẽ tách (x-7)^(x+1) thành (x-7)^x * (x-7)^1.

Áp dụng công thức: \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)
Với \(a = (x-7)\), \(m = x\), \(n = 1\).
Ta có: \((x-7)^{x+1} = (x-7)^x \cdot (x-7)^1\)

Bước 3: Thay thế và rút gọn biểu thức
Bây giờ, chúng ta thay thế \((x-7)^{x+1}\) bằng biểu thức vừa tách được vào đề bài:
\((x-7)^x \cdot (x-7)^1 – (x-7)^x + 11\)

Tiếp theo, ta nhận thấy \((x-7)^x\) là nhân tử chung của hai số hạng đầu tiên. Ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài.
\((x-7)^x \cdot [(x-7)^1 – 1] + 11\)

Bước 4: Thực hiện phép tính trong ngoặc
Trong ngoặc vuông, ta có \((x-7)^1\) chính là \(x-7\).
Vậy, biểu thức trong ngoặc trở thành: \(x-7 – 1 = x-8\).

Bước 5: Viết lại biểu thức cuối cùng
Thay kết quả của phép tính trong ngoặc vào biểu thức:
\((x-7)^x \cdot (x-8) + 11\)

Đây chính là biểu thức đã được rút gọn.

Lưu ý quan trọng:
Trong Toán học, chúng ta thường làm việc với những điều kiện nhất định để các phép toán có nghĩa.
1. Đối với cơ số \(x-7\):
– Nếu cơ số \(x-7 = 0\) (tức \(x=7\)), thì \(0^n\) có thể được định nghĩa tùy theo ngữ cảnh (thường là \(0\) nếu \(n>0\)). Tuy nhiên, trong bài toán này, nếu \(x=7\), thì số mũ \(x+1 = 8\) và \(x=7\). Biểu thức trở thành \(0^8 – 0^7 + 11 = 0 – 0 + 11 = 11\). Biểu thức rút gọn \((7-7)^7 \cdot (7-8) + 11 = 0^7 \cdot (-1) + 11 = 0 \cdot (-1) + 11 = 11\). Vậy với \(x=7\), kết quả là 11.
– Nếu cơ số \(x-7 = 1\) (tức \(x=8\)), thì \(1^n = 1\) với mọi \(n\). Biểu thức trở thành \(1^{8+1} – 1^8 + 11 = 1^9 – 1^8 + 11 = 1 – 1 + 11 = 11\). Biểu thức rút gọn \((8-7)^8 \cdot (8-8) + 11 = 1^8 \cdot 0 + 11 = 1 \cdot 0 + 11 = 11\). Vậy với \(x=8\), kết quả là 11.
– Nếu cơ số \(x-7 = -1\) (tức \(x=6\)), thì \((-1)^n\) phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của \(n\).
Nếu \(x=6\), thì \(x+1 = 7\) và \(x = 6\). Biểu thức trở thành \((-1)^7 – (-1)^6 + 11 = -1 – 1 + 11 = 9\).
Biểu thức rút gọn \((6-7)^6 \cdot (6-8) + 11 = (-1)^6 \cdot (-2) + 11 = 1 \cdot (-2) + 11 = -2 + 11 = 9\). Vậy với \(x=6\), kết quả là 9.
– Thông thường, khi gặp bài toán rút gọn biểu thức kiểu này, ta giả định \(x\) đủ lớn để các lũy thừa có nghĩa và không rơi vào các trường hợp đặc biệt của cơ số \(0, 1, -1\).

2. Đối với số mũ \(x\): Nếu \(x\) là số nguyên âm, chúng ta cần hiểu rõ quy ước về lũy thừa với số mũ âm. Tuy nhiên, với chương trình lớp 7, \(x\) thường được hiểu là số tự nhiên hoặc số nguyên.

Vậy, kết quả cuối cùng sau khi rút gọn biểu thức là:
\((x-7)^x \cdot (x-8) + 11\)

Hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước này, các em đã hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!