Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về biến đổi biểu thức đại số bằng cách áp dụng Hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em nắm vững kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, làm nền tảng cho nhiều bài toán khác sau này.

Bài tập của chúng ta là: **Phân tích biểu thức \(x căn x – 1\) thành nhân tử bằng hằng đẳng thức.**

Chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết bài toán này nhé!

***

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận diện dạng của biểu thức và biến đổi để áp dụng hằng đẳng thức.

Quan sát biểu thức đã cho: \(x\sqrt{x} – 1\).

Để áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta cần biến đổi các hạng tử về dạng lũy thừa phù hợp.

• Ta có thể viết \(x\) dưới dạng bình phương của căn bậc hai: \(x = (\sqrt{x})^2\).
• Vậy, \(x\sqrt{x}\) có thể viết là \((\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x}\).
• Theo quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)), ta có: \((\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^{2+1} = (\sqrt{x})^3\).
• Hạng tử còn lại là \(1\), chúng ta có thể viết \(1\) dưới dạng lập phương: \(1 = 1^3\).

Như vậy, biểu thức ban đầu có thể viết lại thành: \((\sqrt{x})^3 – 1^3\).

Giải thích: Việc này giúp chúng ta đưa biểu thức về đúng dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc, đó là hiệu hai lập phương.

Bước 2: Áp dụng Hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương”.

Chúng ta đã biến đổi biểu thức về dạng \((\sqrt{x})^3 – 1^3\). Đây chính là dạng của Hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương”:

\[a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\]

Trong trường hợp này:

• \(a = \sqrt{x}\)
• \(b = 1\)

Giải thích: Việc xác định đúng ‘a’ và ‘b’ là rất quan trọng để thay thế vào công thức hằng đẳng thức một cách chính xác.

Bước 3: Thay thế vào công thức và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \(a = \sqrt{x}\) và \(b = 1\) vào công thức hằng đẳng thức:

\(x\sqrt{x} – 1 = (\sqrt{x})^3 – 1^3 = (\sqrt{x} – 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2)\)

Thực hiện các phép tính trong biểu thức:

• \((\sqrt{x})^2 = x\) (Vì căn bậc hai của một số không âm bình phương lên sẽ bằng chính số đó).
• \(\sqrt{x} \cdot 1 = \sqrt{x}\)
• \(1^2 = 1\)

Vậy, chúng ta được:

\(x\sqrt{x} – 1 = (\sqrt{x} – 1)(x + \sqrt{x} + 1)\)

Kết luận:

Vậy, biểu thức \(x\sqrt{x} – 1\) sau khi được phân tích thành nhân tử bằng hằng đẳng thức là:

\[x\sqrt{x} – 1 = (\sqrt{x} – 1)(x + \sqrt{x} + 1)\]

Lưu ý thêm: Để biểu thức \(\sqrt{x}\) có nghĩa, điều kiện xác định là \(x \ge 0\). Trong trường hợp này, vì \(x\) nằm trong căn bậc hai và cũng là một hạng tử riêng, điều kiện này cần được đảm bảo.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài tập này! Các em hãy ghi nhớ cách biến đổi và áp dụng hằng đẳng thức này nhé. Đây là một kỹ năng rất hữu ích trong chương trình Toán 9 của chúng ta.