Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình bậc bốn. Bài toán này tuy có vẻ phức tạp với tích của bốn biểu thức, nhưng chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết nó bằng cách nhóm các thừa số một cách khéo léo.

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Nhóm các thừa số

Quan sát đề bài: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0.
Các em để ý thấy các số hạng trong ngoặc có quy luật cách nhau 2 đơn vị: 1, 3, 5, 7.
Để việc nhân đa thức trở nên dễ dàng hơn, chúng ta sẽ nhóm các thừa số sao cho tổng các hằng số trong ngoặc là bằng nhau. Ta sẽ nhóm (x+1) với (x+7) và (x+3) với (x+5).
Lý do: (1+7) = 8 và (3+5) = 8. Việc này sẽ giúp chúng ta xuất hiện một biểu thức chung sau khi nhân.

Ta viết lại phương trình như sau:
[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)] + 15 = 0

Bước 2: Nhân các cặp thừa số đã nhóm

Bây giờ, chúng ta lần lượt nhân các cặp đã nhóm:
Nhân (x+1) với (x+7):
(x+1)(x+7) = x*x + x*7 + 1*x + 1*7 = x^2 + 7x + x + 7 = x^2 + 8x + 7

Nhân (x+3) với (x+5):
(x+3)(x+5) = x*x + x*5 + 3*x + 3*5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15

Sau khi nhân, phương trình của chúng ta trở thành:
(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15 = 0

Bước 3: Đặt ẩn phụ

Các em thấy không, trong hai biểu thức ngoặc mới, chúng ta đều có chung phần là “x^2 + 8x”. Đây chính là lúc chúng ta nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.
Đặt t = x^2 + 8x.

Khi đó, biểu thức x^2 + 8x + 7 sẽ trở thành t + 7.
Và biểu thức x^2 + 8x + 15 sẽ trở thành t + 15.

Thay vào phương trình ban đầu, ta có phương trình mới theo biến t:
(t + 7)(t + 15) + 15 = 0

Bước 4: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ t

Bây giờ chúng ta nhân các biểu thức trong ngoặc theo biến t:
(t + 7)(t + 15) = t*t + t*15 + 7*t + 7*15 = t^2 + 15t + 7t + 105 = t^2 + 22t + 105

Thay trở lại vào phương trình, ta được:
t^2 + 22t + 105 + 15 = 0
t^2 + 22t + 120 = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo biến t. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Ở đây, thầy sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để tìm ra hai nghiệm t.

Chúng ta cần tìm hai số có tổng bằng 22 và tích bằng 120. Hai số đó là 10 và 12.
Ta phân tích:
t^2 + 10t + 12t + 120 = 0

Nhóm các hạng tử:
(t^2 + 10t) + (12t + 120) = 0
t(t + 10) + 12(t + 10) = 0

Đặt nhân tử chung (t + 10):
(t + 10)(t + 12) = 0

Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: t + 10 = 0 => t = -10
Trường hợp 2: t + 12 = 0 => t = -12

Bước 5: Thay ẩn phụ trở lại để tìm x

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị của t tìm được vào biểu thức đặt ẩn phụ t = x^2 + 8x để tìm x.

Trường hợp 1: t = -10
Ta có: x^2 + 8x = -10
Chuyển vế để đưa về dạng phương trình bậc hai chuẩn:
x^2 + 8x + 10 = 0

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm là \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).
Ở đây, a = 1, b = 8, c = 10.
Tính delta (Δ):
Δ = b^2 – 4ac = 8^2 – 4 1 10 = 64 – 40 = 24

Vì Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{24}}{2 \times 1} = \frac{-8 + \sqrt{4 \times 6}}{2} = \frac{-8 + 2\sqrt{6}}{2} = -4 + \sqrt{6}\)
\(x_2 = \frac{-8 – \sqrt{24}}{2 \times 1} = \frac{-8 – 2\sqrt{6}}{2} = -4 – \sqrt{6}\)

Trường hợp 2: t = -12
Ta có: x^2 + 8x = -12
Chuyển vế:
x^2 + 8x + 12 = 0

Tiếp tục sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai với a = 1, b = 8, c = 12.
Tính delta (Δ):
Δ = b^2 – 4ac = 8^2 – 4 1 12 = 64 – 48 = 16

Vì Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_3 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
\(x_4 = \frac{-8 – \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{-8 – 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Kết luận

Vậy, phương trình đã cho có bốn nghiệm là:
x = -4 + √6
x = -4 – √6
x = -2
x = -6

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Chìa khóa của bài toán này chính là việc nhận ra quy luật và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cảm ơn các em đã chú ý lắng nghe!