(x^3 – 2x^2 + x)/(x^2 -1) rút gọn phân thức
Phân thức cần rút gọn là: (x^3 – 2x^2 + x)/(x^2 -1)
Để rút gọn một phân thức, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, sau đó chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Bước 1: Phân tích tử thức thành nhân tử
Tử thức của chúng ta là: x^3 – 2x^2 + x
Chúng ta nhận thấy rằng tất cả các hạng tử trong tử thức đều có thừa số chung là x. Ta sẽ đặt x ra làm nhân tử chung:
x^3 – 2x^2 + x = x(x^2 – 2x + 1)
Bây giờ, chúng ta xem xét biểu thức trong ngoặc: x^2 – 2x + 1. Đây là một dạng hằng đẳng thức quen thuộc mà chúng ta đã học. Cụ thể, nó giống với hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.
Ở đây, ta có a = x và b = 1.
Do đó, x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2.
Vậy, tử thức được phân tích thành nhân tử là: x(x – 1)^2.
Bước 2: Phân tích mẫu thức thành nhân tử
Mẫu thức của chúng ta là: x^2 – 1
Mẫu thức này cũng là một dạng hằng đẳng thức quen thuộc: hiệu hai bình phương. Chúng ta đã học công thức: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).
Ở đây, ta có a = x và b = 1.
Do đó, x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1).
Bước 3: Rút gọn phân thức
Sau khi đã phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử, chúng ta viết lại phân thức như sau:
(x(x – 1)^2) / ((x – 1)(x + 1))
Để rút gọn phân thức, chúng ta sẽ tìm các nhân tử chung giữa tử và mẫu. Ở đây, nhân tử chung là (x – 1).
Chúng ta có thể viết (x – 1)^2 thành (x – 1)(x – 1).
Vậy phân thức trở thành:
(x (x – 1) (x – 1)) / ((x – 1) * (x + 1))
Bây giờ, ta có thể chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x – 1). Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý điều kiện để phép chia này thực hiện được, đó là (x – 1) phải khác 0, hay x phải khác 1. Tương tự, mẫu thức (x + 1) cũng phải khác 0, hay x phải khác -1.
Sau khi rút gọn, chúng ta được:
(x * (x – 1)) / (x + 1)
Chúng ta có thể nhân trở lại tử thức để có dạng cuối cùng là:
(x^2 – x) / (x + 1)
Vậy, phân thức (x^3 – 2x^2 + x)/(x^2 -1) sau khi rút gọn là (x^2 – x) / (x + 1), với điều kiện x khác 1 và x khác -1.
Các em hãy ghi chép lại bài này vào vở và xem lại các bước làm để nhớ kỹ hơn nhé. Nếu có câu hỏi nào, cứ mạnh dạn hỏi thầy.
\((x^3 – 2x^2+x)/(x^2-1)\)
\(= (x(x^2 – 2x + 1))/((x-1)(x+1))\)
\(= (x(x-1)^2)/((x-1)(x+1))\)
\(= (x(x-1))/(x+1)\)
\(color{blue}{~blue~}\)
\((x^3 – 2x^2 + x)/(x^2 – 1)\)
\(= (x^3 – x^2 – x^2 + x)/(x^2 – 1)\)
\(= (x^2.(x – 1) – x.(x – 1))/((x – 1).(x + 1))\)
\(= ((x – 1).(x^2 – x))/((x – 1).(x + 1))\)
\(= (x.(x – 1).(x – 1))/((x – 1).(x + 1))\)
\(= (x.(x – 1))/(x + 1)\)