Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chia đa thức rất thú vị. Các em hãy lấy sách giáo khoa và bút ra nhé. Chúng ta sẽ thực hiện phép chia này bằng phương pháp đặt tính, giống như chúng ta vẫn làm với các phép chia số.

Đề bài yêu cầu chúng ta thực hiện phép chia:
(x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3) chia cho (x^2 + 1)

Trước hết, chúng ta cần sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Trong trường hợp này, các đa thức đã được sắp xếp sẵn rồi, nên chúng ta sẽ tiến hành đặt phép chia.

Bước 1: Đặt phép chia

Chúng ta sẽ kẻ khung phép chia tương tự như chia số. Đa thức bị chia (x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3) sẽ viết ở bên trái, đa thức chia (x^2 + 1) sẽ viết ở bên phải.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1

Kẻ khung phép chia

Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.

Hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia là x^4.
Hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia là x^2.

Ta có: x^4 / x^2 = x^2.
Đây chính là hạng tử đầu tiên của thương. Ta viết x^2 lên phía trên, bên phải của khung chia.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2

Bước 3: Nhân thương vừa tìm được với từng hạng tử của đa thức chia.

Lấy x^2 nhân với (x^2 + 1):
x^2 * x^2 = x^4
x^2 * 1 = x^2

Ta viết kết quả này thẳng hàng với các lũy thừa tương ứng của đa thức bị chia.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2
Kết quả nhân: x^4 + x^2

Bước 4: Lấy đa thức bị chia trừ đi kết quả vừa nhân.

Ta thực hiện phép trừ theo cột:
(x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3) – (x^4 + x^2)

x^4 – x^4 = 0 (hạng tử này bị triệt tiêu)
-x^3 – 0 = -x^3
2x^2 – x^2 = x^2
-x (hạ xuống)
+3 (hạ xuống)

Kết quả của phép trừ là: -x^3 + x^2 – x + 3. Đây là đa thức “mới” để chúng ta tiếp tục thực hiện phép chia.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2
Kết quả nhân: x^4 + x^2
Kết quả trừ: -x^3 + x^2 – x + 3

Bước 5: Lặp lại quy trình từ Bước 2 với đa thức “mới” tìm được.

Bây giờ, hạng tử bậc cao nhất của đa thức “mới” là -x^3.
Hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia vẫn là x^2.

Ta có: -x^3 / x^2 = -x.
Đây là hạng tử tiếp theo của thương. Ta viết -x vào bên phải của thương, sau x^2.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x
Kết quả nhân: x^4 + x^2
Kết quả trừ: -x^3 + x^2 – x + 3

Bước 6: Nhân thương vừa tìm được (-x) với từng hạng tử của đa thức chia.

Lấy -x nhân với (x^2 + 1):
-x * x^2 = -x^3
-x * 1 = -x

Ta viết kết quả này thẳng hàng với các lũy thừa tương ứng của đa thức “mới”.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x
Kết quả nhân 1: x^4 + x^2
Kết quả trừ 1: -x^3 + x^2 – x + 3
Kết quả nhân 2: -x^3 – x

Bước 7: Lấy đa thức “mới” trừ đi kết quả vừa nhân.

Ta thực hiện phép trừ theo cột:
(-x^3 + x^2 – x + 3) – (-x^3 – x)

-x^3 – (-x^3) = -x^3 + x^3 = 0 (hạng tử này bị triệt tiêu)
x^2 – 0 = x^2
-x – (-x) = -x + x = 0 (hạng tử này bị triệt tiêu)
+3 (hạ xuống)

Kết quả của phép trừ là: x^2 + 3.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x
Kết quả nhân 1: x^4 + x^2
Kết quả trừ 1: -x^3 + x^2 – x + 3
Kết quả nhân 2: -x^3 – x
Kết quả trừ 2: x^2 + 3

Bước 8: Lặp lại quy trình từ Bước 2.

Hạng tử bậc cao nhất của đa thức “mới” là x^2.
Hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia vẫn là x^2.

Ta có: x^2 / x^2 = 1.
Đây là hạng tử tiếp theo của thương. Ta viết +1 vào bên phải của thương.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x + 1
Kết quả nhân 1: x^4 + x^2
Kết quả trừ 1: -x^3 + x^2 – x + 3
Kết quả nhân 2: -x^3 – x
Kết quả trừ 2: x^2 + 3

Bước 9: Nhân thương vừa tìm được (1) với từng hạng tử của đa thức chia.

Lấy 1 nhân với (x^2 + 1):
1 * x^2 = x^2
1 * 1 = 1

Ta viết kết quả này thẳng hàng với các lũy thừa tương ứng của đa thức “mới”.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x + 1
Kết quả nhân 1: x^4 + x^2
Kết quả trừ 1: -x^3 + x^2 – x + 3
Kết quả nhân 2: -x^3 – x
Kết quả trừ 2: x^2 + 3
Kết quả nhân 3: x^2 + 1

Bước 10: Lấy đa thức “mới” trừ đi kết quả vừa nhân.

Ta thực hiện phép trừ theo cột:
(x^2 + 3) – (x^2 + 1)

x^2 – x^2 = 0
3 – 1 = 2

Kết quả của phép trừ là: 2.

Bị chia: x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3
Chia: x^2 + 1
Thương: x^2 – x + 1
Kết quả nhân 1: x^4 + x^2
Kết quả trừ 1: -x^3 + x^2 – x + 3
Kết quả nhân 2: -x^3 – x
Kết quả trừ 2: x^2 + 3
Kết quả nhân 3: x^2 + 1
Kết quả trừ 3: 2

Bước 11: Kiểm tra điều kiện dừng phép chia.

Bậc của đa thức dư (là 2, có bậc 0) nhỏ hơn bậc của đa thức chia (là x^2 + 1, có bậc 2). Do đó, phép chia kết thúc.

Kết luận:

Vậy, phép chia \( (x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3) : (x^2 + 1) \) cho ta thương là \( x^2 – x + 1 \) và dư là 2.

Chúng ta có thể viết kết quả dưới dạng:
\( x^4 – x^3 + 2x^2 – x + 3 = (x^2 + 1)(x^2 – x + 1) + 2 \)

Các em thấy đấy, phương pháp đặt tính này rất giống với phép chia số, chỉ cần chúng ta cẩn thận trong từng bước nhân, trừ và theo dõi đúng các lũy thừa của biến.

Các em hãy xem lại bài làm của mình và nếu có gì chưa rõ, hãy mạnh dạn hỏi cô nhé.