Xác định số hạng không chứa x trong khai triển (x3/x) ^4
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển (x3/x) ^4
Bài toán yêu cầu chúng ta xác định số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \((x^3/x)^4\).
Đầu tiên, chúng ta cần rút gọn biểu thức đã cho.
Bước 1: Rút gọn biểu thức ban đầu.
Ta có biểu thức là \((x^3/x)^4\).
Trong biểu thức này, \(x^3/x\) có thể được rút gọn như sau:
\(x^3/x = x^{3-1} = x^2\).
Vậy, biểu thức ban đầu của chúng ta trở thành \((x^2)^4\).
Bước 2: Tiếp tục rút gọn biểu thức.
Ta tiếp tục áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
Áp dụng vào biểu thức \((x^2)^4\), ta có:
\((x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8\).
Bước 3: Phân tích yêu cầu của bài toán.
Yêu cầu của bài toán là tìm “số hạng không chứa \(x\)”.
Sau khi rút gọn, biểu thức của chúng ta chỉ còn là \(x^8\). Biểu thức này chỉ có một số hạng duy nhất là \(x^8\).
Số hạng \(x^8\) này rõ ràng là chứa \(x\).
Bây giờ, thầy muốn các em suy nghĩ một chút. Nếu biểu thức ban đầu sau khi rút gọn chỉ còn là một lũy thừa của \(x\) (hoặc một hằng số), thì có số hạng nào “không chứa \(x\)” không?
Trong trường hợp này, biểu thức của chúng ta đã được rút gọn hoàn toàn thành \(x^8\). Đây là một đơn thức. Đơn thức này chỉ có một số hạng duy nhất là \(x^8\).
Nếu đề bài là khai triển của một biểu thức có dạng \((a+b)^n\), chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Tuy nhiên, với biểu thức \((x^3/x)^4\), chúng ta không cần đến công thức đó vì nó đã rút gọn thành một đơn thức.
Chúng ta đã rút gọn biểu thức về dạng \(x^8\).
Biểu thức \(x^8\) chỉ có một số hạng là \(x^8\).
Số hạng này chứa \(x\) (với số mũ là 8).
Vậy, trong khai triển của \((x^3/x)^4\), tức là \(x^8\), không có số hạng nào không chứa \(x\). Nói cách khác, số hạng không chứa \(x\) là 0.
Để làm rõ hơn, nếu bài toán có dạng ví dụ như \((x + 1/x)^4\), chúng ta sẽ dùng nhị thức Newton để khai triển và tìm số hạng không chứa \(x\). Nhưng với bài toán này, mọi thứ đơn giản hơn nhiều.
Kết luận:
Sau khi rút gọn biểu thức \((x^3/x)^4\) ta được \(x^8\). Biểu thức này chỉ có duy nhất một số hạng là \(x^8\), số hạng này chứa \(x\). Do đó, không có số hạng nào không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức đã cho.
Đáp số là: 0.
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\((x – 3/x)^4 = sum_{k=0}^{4} (-1)^k .C_{4}^k .x^(4-k).(3/x)^k\)
\(= sum_{k=0}^{4} (-1)^k .C_{4}^k .x^(4-2k).3^k\)
số hạng không chứa \(x\) trong khai triển tương ứng với \(4-2k = 0\) \(<=>\) \(k=2\)
\(->\) hệ số: \(C_{4}^2 .(-1)^2 .3^2 = 54\)