—

Bài toán 1: Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Khi thực hiện, đội được bổ sung thêm 2 xe nên mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? (Biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau).

Phân tích và Lập luận:
Bài toán này cho chúng ta biết tổng khối lượng hàng cần chở và có sự thay đổi về số lượng xe, dẫn đến sự thay đổi về khối lượng hàng mỗi xe chở. Chúng ta cần tìm số xe ban đầu.

Ta nhận thấy rằng khối lượng hàng mỗi xe chở và số lượng xe có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với tổng khối lượng hàng. Khi số xe tăng lên thì khối lượng mỗi xe chở sẽ giảm xuống để đảm bảo tổng khối lượng không đổi.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình để giải bài toán này. Gọi ẩn là số xe ban đầu, sau đó biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn.
Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe).
Điều kiện: x là số nguyên dương và x > 0.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn.
Vì ban đầu đội dự định chở 120 tấn hàng, nên khối lượng hàng mỗi xe dự định chở là:
\( \frac{120}{x} \) (tấn/xe)

Khi thực hiện, đội được bổ sung thêm 2 xe, nên tổng số xe lúc này là x + 2 (xe).
Khối lượng hàng mỗi xe thực tế chở là:
\( \frac{120}{x+2} \) (tấn/xe)

Bước 3: Lập phương trình dựa vào mối quan hệ cho trong đề bài.
Đề bài cho biết “mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn”. Điều này có nghĩa là khối lượng hàng mỗi xe thực tế chở bằng khối lượng hàng mỗi xe dự định chở trừ đi 2 tấn.
Ta có phương trình:
\( \frac{120}{x+2} = \frac{120}{x} – 2 \)

Bước 4: Giải phương trình.
Để giải phương trình này, trước hết chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và khử mẫu.
Điều kiện: x ≠ 0 và x + 2 ≠ 0. (Điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện x > 0).

Nhân cả hai vế của phương trình với x(x + 2) để khử mẫu:
\( x(x+2) \left( \frac{120}{x+2} \right) = x(x+2) \left( \frac{120}{x} – 2 \right) \)
\( 120x = (x+2) \cdot 120 – 2x(x+2) \)
\( 120x = 120x + 240 – 2x^2 – 4x \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để được phương trình bậc hai:
\( 2x^2 + 4x + 120x – 120x – 240 = 0 \)
\( 2x^2 + 4x – 240 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản phương trình:
\( x^2 + 2x – 120 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Cô sẽ phân tích thành nhân tử:
Tìm hai số có tích là -120 và tổng là 2. Hai số đó là 12 và -10.
\( x^2 + 12x – 10x – 120 = 0 \)
\( x(x + 12) – 10(x + 12) = 0 \)
\( (x – 10)(x + 12) = 0 \)

Suy ra, \( x – 10 = 0 \) hoặc \( x + 12 = 0 \).
Nếu \( x – 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \)
Nếu \( x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12 \)

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Chúng ta đã đặt điều kiện x là số nguyên dương. Do đó, giá trị x = -12 bị loại.
Vậy, x = 10 là giá trị thỏa mãn.

Kết luận: Lúc đầu đội có 10 xe.

—

Bài toán 2: Một công ty dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kỹ thuật, mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Tính số sản phẩm người đó làm được trong một giờ theo dự định.

Phân tích và Lập luận:
Bài toán này liên quan đến năng suất (số sản phẩm làm được trong một giờ) và thời gian hoàn thành công việc. Khi năng suất tăng lên thì thời gian hoàn thành sẽ giảm xuống.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình để giải bài toán. Gọi ẩn là năng suất dự định, sau đó biểu diễn thời gian hoàn thành theo ẩn đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn.
Gọi số sản phẩm người đó làm được trong một giờ theo dự định là y (sản phẩm/giờ).
Điều kiện: y là số nguyên dương và y > 0.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn.
Tổng số sản phẩm cần làm là 120.
Thời gian dự định để hoàn thành công việc là:
\( \frac{120}{y} \) (giờ)

Do cải tiến kỹ thuật, mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm, nên năng suất thực tế là y + 3 (sản phẩm/giờ).
Thời gian thực tế để hoàn thành công việc là:
\( \frac{120}{y+3} \) (giờ)

Bước 3: Lập phương trình dựa vào mối quan hệ cho trong đề bài.
Đề bài cho biết “hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ”. Điều này có nghĩa là thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 1 giờ.
Ta có phương trình:
\( \frac{120}{y+3} = \frac{120}{y} – 1 \)

Bước 4: Giải phương trình.
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và khử mẫu.
Điều kiện: y ≠ 0 và y + 3 ≠ 0. (Điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện y > 0).

Nhân cả hai vế của phương trình với y(y + 3) để khử mẫu:
\( y(y+3) \left( \frac{120}{y+3} \right) = y(y+3) \left( \frac{120}{y} – 1 \right) \)
\( 120y = (y+3) \cdot 120 – y(y+3) \)
\( 120y = 120y + 360 – y^2 – 3y \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để được phương trình bậc hai:
\( y^2 + 3y + 120y – 120y – 360 = 0 \)
\( y^2 + 3y – 360 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Cô sẽ sử dụng công thức nghiệm để minh họa.
Delta (Δ) = \( b^2 – 4ac \)
Trong đó, a = 1, b = 3, c = -360.
Δ = \( 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-360) \)
Δ = \( 9 + 1440 \)
Δ = \( 1449 \)

Ta tìm căn bậc hai của Δ: \( \sqrt{1449} \).
\( \sqrt{1449} = 38.06… \) (Ở đây có thể kiểm tra lại phép tính hoặc đề bài có thể cho số đẹp hơn. Tuy nhiên, ta cứ tiếp tục với giá trị này).

Hoặc chúng ta có thể thử phân tích thành nhân tử nếu có thể nhẩm ra được.
Tìm hai số có tích là -360 và tổng là 3.
Các cặp ước của 360: (1, 360), (2, 180), (3, 120), (4, 90), (5, 72), (6, 60), (8, 45), (9, 40), (10, 36), (12, 30), (15, 24), (18, 20).
Nhận thấy cặp (15, 24) có hiệu là 9, chưa đúng.
Kiểm tra lại đề bài và phép tính. Giả sử đề bài cho số dễ tính hơn một chút để ta có thể phân tích nhân tử.

Tuy nhiên, với số liệu này, ta sẽ dùng công thức nghiệm để tìm y.
\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2} \)
\( y_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – \sqrt{1449}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 – \sqrt{1449}}{2} \)

Nếu đề bài cho số liệu đẹp, ví dụ như 72 sản phẩm và sớm hơn 1 giờ, tăng 2 sản phẩm mỗi giờ.
Thời gian dự định: 72/y. Thời gian thực tế: 72/(y+2).
\( \frac{72}{y+2} = \frac{72}{y} – 1 \)
\( 72y = 72(y+2) – y(y+2) \)
\( 72y = 72y + 144 – y^2 – 2y \)
\( y^2 + 2y – 144 = 0 \)
Delta = \( 2^2 – 4(1)(-144) = 4 + 576 = 580 \). Căn 580 cũng không đẹp.

Chúng ta quay lại bài toán gốc với số 120 và sớm hơn 1 giờ, tăng 3 sản phẩm.
Phương trình \( y^2 + 3y – 360 = 0 \).
Nếu ta thử phân tích nhân tử, ta có thể đã bị sai ở đâu đó trong việc tìm cặp số.
Thử lại cặp số có tích là -360 và hiệu là 3.
Nếu y = 20, thì 20*(20+3) = 20*23 = 460 (quá lớn).
Nếu y = 15, thì 15*(15+3) = 15*18 = 270 (quá nhỏ).
Nếu y = 18, thì 18*(18+3) = 18*21 = 378.
Nếu y = 20, ta xem xét \( \frac{120}{20} = 6 \) giờ. \( \frac{120}{23} \approx 5.21 \) giờ. Hiệu không phải 1 giờ.

Có thể có một cách khác để phân tích hoặc đề bài đã được thiết kế để có kết quả đẹp.
Giả sử ta cần tìm y sao cho \( y(y+3) = 360 \).
Ta có thể thử các giá trị nguyên.
Nếu y = 15, \( 15 \times 18 = 270 \).
Nếu y = 18, \( 18 \times 21 = 378 \).
Vậy nghiệm nguyên sẽ nằm giữa 15 và 18. Có thể đề bài đã được làm tròn hoặc có sai sót nhỏ trong việc cho số liệu.

Tuy nhiên, nếu giả định rằng có một nghiệm nguyên, ta sẽ tiếp tục với công thức nghiệm.
\( \sqrt{1449} \approx 38.0657 \).
\( y_1 = \frac{-3 + 38.0657}{2} \approx \frac{35.0657}{2} \approx 17.53 \)
\( y_2 = \frac{-3 – 38.0657}{2} \approx \frac{-41.0657}{2} \approx -20.53 \)

Nếu ta kiểm tra lại, có thể đề bài là: 120 sản phẩm, cải tiến kỹ thuật, làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ, hoàn thành sớm hơn 2 giờ.
Thời gian dự định: 120/y. Thời gian thực tế: 120/(y+2).
\( \frac{120}{y+2} = \frac{120}{y} – 2 \)
\( 120y = 120(y+2) – 2y(y+2) \)
\( 120y = 120y + 240 – 2y^2 – 4y \)
\( 2y^2 + 4y – 240 = 0 \)
\( y^2 + 2y – 120 = 0 \)
\( (y+12)(y-10) = 0 \)
Vậy y = 10 hoặc y = -12. Chọn y = 10.

Nhưng theo đề bài đã cho: 120 sản phẩm, cải tiến kỹ thuật, làm thêm 3 sản phẩm mỗi giờ, hoàn thành sớm hơn 1 giờ.
Ta có phương trình: \( y^2 + 3y – 360 = 0 \).
Có thể \( \sqrt{1449} \) là một số đẹp nếu ta tính nhẩm: 30*30=900, 40*40=1600.
Thử các số tận cùng là 3 hoặc 7: 33*33=1089, 37*37=1369, 38*38 = 1444.
Vậy \( \sqrt{1449} \) không phải là số nguyên.

Trong trường hợp này, nếu đề bài là đúng, ta phải chấp nhận kết quả không nguyên hoặc kiểm tra lại xem có nhầm lẫn trong quá trình tính toán hay không.
Tuy nhiên, với kinh nghiệm dạy học, các bài toán thường cho kết quả đẹp. Ta có thể suy đoán rằng có thể số liệu đã thay đổi.
Giả sử nếu đề bài cho số liệu mà ta có thể giải ra nghiệm đẹp:
Nếu \( y = 15 \), thời gian dự định là \( \frac{120}{15} = 8 \) giờ.
Năng suất thực tế là \( 15+3=18 \). Thời gian thực tế là \( \frac{120}{18} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \) giờ.
Hiệu thời gian là \( 8 – \frac{20}{3} = \frac{24-20}{3} = \frac{4}{3} \) giờ, không phải 1 giờ.

Nếu \( y = 20 \), thời gian dự định là \( \frac{120}{20} = 6 \) giờ.
Năng suất thực tế là \( 20+3=23 \). Thời gian thực tế là \( \frac{120}{23} \approx 5.217 \) giờ.
Hiệu thời gian là \( 6 – \frac{120}{23} = \frac{138-120}{23} = \frac{18}{23} \) giờ, không phải 1 giờ.

Ta quay lại phương trình \( y^2 + 3y – 360 = 0 \).
Để tìm nghiệm nguyên, ta cần \( \Delta = 1449 \) phải là số chính phương.
Kiểm tra lại 1449: 1449 / 3 = 483. 483 / 3 = 161. 161 / 7 = 23.
\( 1449 = 3^2 \times 7 \times 23 \). Không phải số chính phương.

Do đó, với đề bài này, ta sẽ trả lời theo kết quả có được từ công thức nghiệm, nhưng thông báo rằng kết quả có thể không đẹp như mong đợi trong các bài toán thông thường.

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Chúng ta đã đặt điều kiện y là số nguyên dương.
\( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2} \). Vì \( \sqrt{1449} > 0 \), nên \( y_1 > 0 \). Giá trị này thỏa mãn điều kiện.
\( y_2 = \frac{-3 – \sqrt{1449}}{2} \). Vì \( \sqrt{1449} > 0 \), nên \( y_2 < 0 \). Giá trị này không thỏa mãn điều kiện là số dương. Do đó, ta chọn \( y = \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2} \). Nếu đề bài muốn kết quả đẹp, có thể số liệu đã thay đổi. Tuy nhiên, dựa trên đề bài đã cho: Kết luận: Số sản phẩm người đó làm được trong một giờ theo dự định là \( \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2} \) (sản phẩm/giờ). Cô hy vọng qua hai bài toán này, các em đã nắm vững hơn cách áp dụng phương pháp lập phương trình trong các bài toán thực tế. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!