1) Thế nào là hai số đối nhau? Cho ví dụ?
2) Thế nào là hai số nghịch đảo? Cho v…
2) Thế nào là hai số nghịch đảo? Cho ví dụ?
3) Phát biểu quy tắc và viết dưới dạng tổng quát của phép công hai phân số
a) Cùng mẫu b) Khác mẫu
4) Phát biểu và viết dưới dạng tổng quát của:
a) Phép trừ hai phân số
b) Phép nhân hai phân số
c) Phép nhân hai phân số
5) Phát biểu và viết dạng tổng quát của các tính chất của phép cộng và phép nhân hai phân số.
1) Thế nào là hai số đối nhau? Cho ví dụ?
Khái niệm: Hai số nguyên \(a\) và \(b\) được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Giải thích: Khi hai số đối nhau, chúng nằm ở hai phía khác nhau trên trục số, cách đều điểm 0 và có độ dài bằng nhau.
Ví dụ:
- Số đối của 5 là -5 vì 5 + (-5) = 0.
- Số đối của -7 là 7 vì (-7) + 7 = 0.
- Số đối của 0 là 0 vì 0 + 0 = 0.
Tổng quát: Số đối của số nguyên \(a\) là \(-a\). Số đối của \(-a\) là \(a\).
2) Thế nào là hai số nghịch đảo? Cho ví dụ?
Khái niệm: Hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
Giải thích: Hai số nghịch đảo của nhau thường xuất hiện trong phép chia phân số, giúp chúng ta chuyển phép chia thành phép nhân.
Ví dụ:
- Số nghịch đảo của 3 là 1/3 vì 3 * (1/3) = 1.
- Số nghịch đảo của -2/5 là -5/2 vì (-2/5) * (-5/2) = 1.
- Số nghịch đảo của 1 là 1 vì 1 * 1 = 1.
- Số 0 không có số nghịch đảo.
Tổng quát: Số nghịch đảo của số hữu tỉ \(a\) (với \(a \ne 0\)) là \(1/a\).
3) Phát biểu quy tắc và viết dưới dạng tổng quát của phép cộng hai phân số
a) Cùng mẫu
Quy tắc: Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu số.
Giải thích: Khi các phân số có cùng mẫu, chúng ta có thể hiểu như việc cộng các phần bằng nhau của một tổng thể, nên chỉ cần cộng số phần đó lại.
Tổng quát: Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{b}\) (với \(b \ne 0\)), ta có:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \]
b) Khác mẫu
Quy tắc: Muốn cộng hai phân số khác mẫu, ta quy đồng mẫu số hai phân số rồi cộng hai phân số cùng mẫu.
Giải thích: Để có thể cộng các phần của một tổng thể, các phần đó cần phải có cùng kích thước, tức là cùng mẫu số. Quy đồng mẫu số giúp chúng ta đưa về trường hợp hai phân số cùng mẫu để thực hiện phép cộng.
Tổng quát: Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (với \(b \ne 0, d \ne 0\)), ta có:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \]
Hoặc có thể quy đồng về mẫu số chung nhỏ nhất (BCNN của \(b\) và \(d\)) để phép tính gọn gàng hơn.
4) Phát biểu và viết dưới dạng tổng quát của:
a) Phép trừ hai phân số
Quy tắc: Muốn trừ hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{b}\) (với \(b \ne 0\)), ta trừ tử của phân số thứ nhất cho tử của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
Hoặc, muốn trừ phân số \(\frac{c}{d}\) cho phân số \(\frac{a}{b}\) (với \(b \ne 0, d \ne 0\)), ta quy đồng mẫu số hai phân số rồi thực hiện phép trừ như hai phân số cùng mẫu.
Giải thích: Phép trừ cũng tương tự như phép cộng, chúng ta cần đưa về cùng mẫu số để thực hiện.
Tổng quát:
Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{b}\) (với \(b \ne 0\)):
\[ \frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \]
Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (với \(b \ne 0, d \ne 0\)):
\[ \frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} – \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d – c \cdot b}{b \cdot d} \]
b) Phép nhân hai phân số
Quy tắc: Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
Giải thích: Phép nhân phân số có quy tắc đơn giản hơn, chỉ cần nhân tử với tử và mẫu với mẫu.
Tổng quát: Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (với \(b \ne 0, d \ne 0\)), ta có:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
c) Phép chia hai phân số
Quy tắc: Muốn chia hai phân số \(\frac{a}{b}\) cho phân số \(\frac{c}{d}\) (với \(b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0\)), ta nhân phân số thứ nhất với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.
Giải thích: Phép chia phân số được thực hiện bằng cách chuyển thành phép nhân với số nghịch đảo của số chia. Đây là một quy tắc quan trọng để giải quyết bài toán chia phân số.
Tổng quát: Cho hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (với \(b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0\)), ta có:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
5) Phát biểu và viết dạng tổng quát của các tính chất của phép cộng và phép nhân hai phân số.
a) Tính chất của phép cộng hai phân số:
- Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
Tổng quát: Với mọi số hữu tỉ \(a, b\), ta có:
\[ a + b = b + a \]
- Tính chất kết hợp: Khi cộng ba số hữu tỉ, ta có thể cộng hai số đầu trước rồi cộng với số thứ ba, hoặc cộng hai số cuối trước rồi cộng với số thứ nhất, kết quả không thay đổi.
Tổng quát: Với mọi số hữu tỉ \(a, b, c\), ta có:
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
b) Tính chất của phép nhân hai phân số:
- Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
Tổng quát: Với mọi số hữu tỉ \(a, b\), ta có:
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
- Tính chất kết hợp: Khi nhân ba số hữu tỉ, ta có thể nhân hai số đầu trước rồi nhân với số thứ ba, hoặc nhân hai số cuối trước rồi nhân với số thứ nhất, kết quả không thay đổi.
Tổng quát: Với mọi số hữu tỉ \(a, b, c\), ta có:
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Khi nhân một số với tổng của hai số, ta có thể nhân số đó với từng số hạng rồi cộng các kết quả lại.
Tổng quát: Với mọi số hữu tỉ \(a, b, c\), ta có:
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã củng cố thêm kiến thức của mình. Hãy ôn tập thường xuyên để nắm vững các dạng toán nhé! Chúc các em học tốt!
Giải thích các bước giải:
1) Hai số đối nhau là hai số có tổng bằng 0.
VD: \(3+(-3)=0\) khi đó \(3,(-3)\) là 2 số đối nhau.
2) Hai số nghịch đảo là hai số có tích bằng 1.
VD: \(3.\dfrac{1}{3}=1\) khi đó \(3,\dfrac{1}{3}\) là hai số nghịch đảo.
3) Quy tắc cộng:
a) 2 phân số cùng mẫu số:
Giả sử có 2 phân số cùng mẫu số là: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{b}\) (\(b\ne 0\))
Khi đó: Tổng của 2 phân số cùng mẫu số là phân số mới có mẫu số giữ nguyên và tử số bằng tổng tử số của 2 phân số ban đầu.
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{a + c}}{b}\)
Ví dụ: \(\dfrac 12+\dfrac52=\dfrac{1+5}2=\dfrac62=3\)
b) 2 phân số khác mẫu số:
Giả sử có 2 phân số khác mẫu số là: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(b,d\ne 0; b\ne d\))
Khi đó: Ta quy đồng mẫu số của 2 phân số ban đầu, tổng của 2 phân số bằng phân số mới có mẫu số là mẫu số chung và tử số bằng tổng 2 tử số sau khi quy đồng.
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ad}}{{bd}} + \dfrac{{bc}}{{bd}} = \dfrac{{ad + bc}}{{bd}}\)
Ví dụ :\(\dfrac13+\dfrac27=\dfrac{1.7}{3.7}+\dfrac{2.3}{7.3}=\dfrac7{21}+\dfrac6{21}=\dfrac{7+6}{21}=\dfrac{13}{21}\)
\(\dfrac2{15}+\dfrac43=\dfrac2{15}+\dfrac{4.5}{3.5}=\dfrac2{15}+\dfrac{20}{15}=\dfrac{2+20}{15}=\dfrac{22}{15}\)
4) a) Phép trừ 2 phân số:
Giả sử có 2 phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(b,d\ne 0\))
Khi đó: Ta quy đồng mẫu số của 2 phân số ban đầu, hiệu của 2 phân số bằng phân số mới có mẫu số là mẫu số chung và tử số bằng hiệu 2 tử số sau khi quy đồng.
\(\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ad}}{{bd}} – \dfrac{{bc}}{{bd}} = \dfrac{{ad – bc}}{{bd}}\)
Ví dụ: \(\dfrac52-\dfrac12=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac42=2\)
\(\dfrac{15}4-\dfrac15=\dfrac{15.5}{4.5}-\dfrac{1.4}{5.4}=\dfrac{75}{20}-\dfrac{4}{20}=\dfrac{75-4}{20}=\dfrac{71}{20}\)
\(\dfrac{21}{4}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{21.5}{4.5}-\dfrac3{20}=\dfrac{105}{20}-\dfrac3{20}=\dfrac{105-3}{20}=\dfrac{51}{10}\)
b) Phép nhân 2 phân số:
Giả sử có 2 phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(b,d\ne 0\))
Khi đó: Tích 2 phân số bằng phân số mới có tử số bằng tích 2 tử số ban đầu và mẫu số bằng tích 2 mẫu số ban đầu.
\(\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{ac}}{{bd}}\)
Ví dụ \(\dfrac12.\dfrac27=\dfrac{1.2}{2.7}=\dfrac{2}{14}=\dfrac17\)
c) Phép chia 2 phân số:
Giả sử có 2 phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(b,c,d\ne 0\))
Khi đó: Thương 2 phân số là tích của phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ 2.
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{ad}}{{bc}}\)
Ví dụ: \(\dfrac12:\dfrac47=\dfrac12.\dfrac74=\dfrac{1.7}{2.4}=\dfrac78\)
5) a) Tính chất của phép cộng 2 phân số:
Giả sử có 3 phân số \(\dfrac{a}{b}\); \(\dfrac{c}{d}\); \(\dfrac{m}{n}\) (\(b,d,n\ne 0\))
+) Giao hoán:
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}\)
+) Kết hợp:
\(\dfrac{a}{b} + \left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{m}{n}} \right) = \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) + \dfrac{m}{n}\)
+) Cộng với 0:
\(\dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\)
b) Tính chất của phép nhân 2 phân số:
Giả sử có 3 phân số \(\dfrac{a}{b}\); \(\dfrac{c}{d}\); \(\dfrac{m}{n}\) (\(b,d,n\ne 0\))
+) Giao hoán:
\(\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} . \dfrac{a}{b}\)
+) Kết hợp:
\(\dfrac{a}{b} . \left( {\dfrac{c}{d} . \dfrac{m}{n}} \right) = \left( {\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d}} \right) . \dfrac{m}{n}\)
+) Nhân với 1:
\(\dfrac{a}{b} .1 = 1. \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\)
+) Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng:
\(\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right)\dfrac{m}{n} = \dfrac{m}{n}\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) = \dfrac{m}{n}.\dfrac{a}{b} + \dfrac{m}{n}.\dfrac{c}{d}= \dfrac{{am}}{{bn}} + \dfrac{{cm}}{{dn}}\).