Chào các em học sinh yêu quý! Thầy rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học Toán hôm nay. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị và quen thuộc về tỉ lệ thức, vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà chúng ta đã học ở chương trình Toán lớp 7.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau một cách cẩn thận và chi tiết nhé.

Bài giải:

Chúng ta có các đẳng thức đã cho là:
1. \(2a = 3b\)
2. \(5b = 7c\)
3. \(3a + 5c – 7b = 30\)

Bước 1: Chuyển các đẳng thức về dạng tỉ số.

Từ đẳng thức thứ nhất: \(2a = 3b\).
Để đưa về dạng tỉ số, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho tích của các hệ số, tức là chia cho \(2 \times 3 = 6\).
Ta được:
\[ \frac{2a}{6} = \frac{3b}{6} \]
Rút gọn các phân số, ta có:
\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \]
Đây là tỉ số đầu tiên của chúng ta.

Từ đẳng thức thứ hai: \(5b = 7c\).
Tương tự, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho tích của các hệ số, tức là chia cho \(5 \times 7 = 35\).
Ta được:
\[ \frac{5b}{35} = \frac{7c}{35} \]
Rút gọn các phân số, ta có:
\[ \frac{b}{7} = \frac{c}{5} \]
Đây là tỉ số thứ hai của chúng ta.

Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau chung cho a, b và c.

Chúng ta đã có hai tỉ số liên quan đến b:
\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \]
và
\[ \frac{b}{7} = \frac{c}{5} \]
Để kết nối ba biến a, b, c thành một dãy tỉ số bằng nhau, chúng ta cần làm cho “phần b” trong cả hai tỉ số có cùng mẫu số. Mẫu số của b trong tỉ số thứ nhất là 2, còn trong tỉ số thứ hai là 7. Chúng ta sẽ tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 và 7, đó là 14.

Để mẫu số của b là 14, ta làm như sau:
* Đối với tỉ số \(\frac{a}{3} = \frac{b}{2}\):
Chúng ta nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 7 (vì \(2 \times 7 = 14\)).
\[ \frac{a \times 7}{3 \times 7} = \frac{b \times 7}{2 \times 7} \]
\[ \Rightarrow \frac{a}{21} = \frac{b}{14} \]

* Đối với tỉ số \(\frac{b}{7} = \frac{c}{5}\):
Chúng ta nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 2 (vì \(7 \times 2 = 14\)).
\[ \frac{b \times 2}{7 \times 2} = \frac{c \times 2}{5 \times 2} \]
\[ \Rightarrow \frac{b}{14} = \frac{c}{10} \]

Bây giờ, chúng ta thấy rằng \(\frac{b}{14}\) xuất hiện trong cả hai biểu thức. Vậy, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[ \frac{a}{21} = \frac{b}{14} = \frac{c}{10} \]
Đây chính là dãy tỉ số bằng nhau mà chúng ta cần tìm!

Bước 3: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Chúng ta đã có dãy tỉ số \(\frac{a}{21} = \frac{b}{14} = \frac{c}{10}\).
Và chúng ta có biểu thức \(3a + 5c – 7b = 30\).
Để sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, chúng ta cần biến đổi các phân số sao cho tử số giống với các số hạng trong biểu thức \(3a + 5c – 7b\).

* Từ \(\frac{a}{21}\), để có \(3a\), ta nhân cả tử và mẫu với 3: \(\frac{3a}{21 \times 3} = \frac{3a}{63}\).
* Từ \(\frac{c}{10}\), để có \(5c\), ta nhân cả tử và mẫu với 5: \(\frac{5c}{10 \times 5} = \frac{5c}{50}\).
* Từ \(\frac{b}{14}\), để có \(-7b\), ta nhân cả tử và mẫu với \(-7\): \(\frac{-7b}{14 \times (-7)} = \frac{-7b}{-98}\).
(Hoặc có thể viết là để có \(7b\), ta nhân cả tử và mẫu với 7: \(\frac{7b}{14 \times 7} = \frac{7b}{98}\). Sau đó, khi áp dụng tính chất, ta sẽ có \(\frac{3a + 5c – 7b}{63 + 50 – 98}\)). Thầy sẽ chọn cách sau để tránh số âm ở mẫu, dễ nhìn hơn nhé.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[ \frac{a}{21} = \frac{b}{14} = \frac{c}{10} = \frac{3a}{63} = \frac{7b}{98} = \frac{5c}{50} \]
Và:
\[ \frac{3a}{63} = \frac{5c}{50} = \frac{7b}{98} = \frac{3a + 5c – 7b}{63 + 50 – 98} \]
Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(3a + 5c – 7b = 30\) vào:
\[ \frac{3a + 5c – 7b}{63 + 50 – 98} = \frac{30}{113 – 98} = \frac{30}{15} \]
Thực hiện phép chia:
\[ \frac{30}{15} = 2 \]
Vậy, mỗi tỉ số đều bằng 2.
\[ \frac{a}{21} = \frac{b}{14} = \frac{c}{10} = 2 \]

Bước 4: Tìm giá trị của a, b và c.

Từ \(\frac{a}{21} = 2\), suy ra \(a = 21 \times 2 = 42\).
Từ \(\frac{b}{14} = 2\), suy ra \(b = 14 \times 2 = 28\).
Từ \(\frac{c}{10} = 2\), suy ra \(c = 10 \times 2 = 20\).

Vậy, các giá trị cần tìm là \(a = 42\), \(b = 28\) và \(c = 20\).

Bước 5: Kiểm tra lại (đây là bước rất quan trọng để đảm bảo kết quả đúng nhé các em!)

* Kiểm tra đẳng thức 1: \(2a = 2 \times 42 = 84\).
\(3b = 3 \times 28 = 84\).
\(2a = 3b\) (Đúng).

* Kiểm tra đẳng thức 2: \(5b = 5 \times 28 = 140\).
\(7c = 7 \times 20 = 140\).
\(5b = 7c\) (Đúng).

* Kiểm tra đẳng thức 3: \(3a + 5c – 7b = 3 \times 42 + 5 \times 20 – 7 \times 28\).
\(= 126 + 100 – 196\).
\(= 226 – 196 = 30\).
\(3a + 5c – 7b = 30\) (Đúng).

Tất cả các đẳng thức đều được thỏa mãn, vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Vậy, giá trị của các biến là \(a = 42\), \(b = 28\) và \(c = 20\).

Các em thấy đó, bài toán này không quá khó phải không nào? Quan trọng là chúng ta phải nắm vững kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tập tương tự để làm quen và thành thạo hơn nhé! Chúc các em học tốt!