Chào các em, cô là giáo viên môn Toán. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất hay về việc rút gọn biểu thức, trong đó có vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước cô hướng dẫn nhé!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Phân tích biểu thức và xác định phương pháp giải cho từng phần.
2. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn cụm đầu tiên.
3. Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để rút gọn cụm thứ hai.
4. Kết hợp các kết quả và tính toán để ra đáp án cuối cùng.

Nào, chúng ta bắt đầu!

Bước 1: Phân tích và rút gọn cụm thứ nhất (2x+3)(4x^2-6x+9)

• Lý do: Khi quan sát cụm này, chúng ta nhận thấy nó có dạng rất quen thuộc, giống với một hằng đẳng thức đã học. Đó chính là hằng đẳng thức Tổng hai lập phương.
• Công thức: Hằng đẳng thức Tổng hai lập phương có dạng:
  \[ A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) \]
• Áp dụng: Ta hãy thử xác định A và B trong biểu thức của mình:
  • Đặt \( A = 2x \) và \( B = 3 \).
  • Khi đó, ta có:
    • \( A^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)
    • \( AB = (2x)(3) = 6x \)
    • \( B^2 = 3^2 = 9 \)

  Như vậy, biểu thức \((2x+3)(4x^2-6x+9)\) hoàn toàn khớp với công thức trên.

• Kết quả:
  \( (2x+3)(4x^2-6x+9) = (2x)^3 + 3^3 = 8x^3 + 27 \)

Bước 2: Rút gọn cụm thứ hai -2(4x^3-1)

• Lý do: Đây là phép nhân một số với một đa thức. Ta sẽ áp dụng quy tắc nhân phân phối.
• Thực hiện: Ta nhân -2 với lần lượt từng hạng tử bên trong dấu ngoặc.
  \( -2(4x^3-1) = (-2) \cdot 4x^3 – (-2) \cdot 1 \)
• Kết quả:
  \( -2(4x^3-1) = -8x^3 + 2 \)

Bước 3: Kết hợp kết quả và rút gọn biểu thức cuối cùng

• Lý do: Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các cụm đã được rút gọn ở Bước 1 và Bước 2 vào biểu thức ban đầu.
• Thực hiện:
  Biểu thức ban đầu trở thành:
  \( (8x^3 + 27) + (-8x^3 + 2) \)

  Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:
  \( 8x^3 + 27 – 8x^3 + 2 = (8x^3 – 8x^3) + (27 + 2) \)

  Tính toán các nhóm:
  \( 0 + 29 = 29 \)

KẾT LUẬN

Vậy, sau khi rút gọn, giá trị của biểu thức đã cho là 29.

Đây là một bài tập rất điển hình giúp các em ôn lại hằng đẳng thức “Tổng hai lập phương”. Các em hãy nhớ rằng việc nhận dạng và áp dụng đúng hằng đẳng thức sẽ giúp chúng ta giải toán nhanh và chính xác hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt