Bài toán cho biết:
Một học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử để mở cửa lớp mình. Bảng có 10 nút, mỗi nút ghi số từ 0 đến 9. Các số trên nút là khác nhau. Để mở cửa, cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau. Ba số trên 3 nút đó, theo thứ tự đã nhấn, tạo thành một dãy số có tổng các chữ số lớn hơn 3.
Học sinh B chỉ biết muốn mở cửa phải bấm liên tiếp 3 nút. Hỏi có bao nhiêu cách để học sinh B có thể mở được cửa?

Phân tích bài toán:
Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Học sinh B cần phải bấm liên tiếp 3 nút khác nhau và ba số này phải thỏa mãn điều kiện: tổng của ba số đó lớn hơn 3. Chúng ta cần tìm xem có bao nhiêu cách để B có thể bấm được 3 nút đúng theo yêu cầu.

Bước 1: Tính tổng số cách bấm 3 nút liên tiếp khác nhau mà không xét điều kiện tổng

* Chúng ta có 10 nút với các số từ 0 đến 9.
* Để bấm nút thứ nhất, học sinh B có 10 lựa chọn (từ 0 đến 9).
* Vì các nút phải khác nhau, nên sau khi bấm nút thứ nhất, sẽ còn 9 nút cho lựa chọn thứ hai.
* Tương tự, sau khi bấm nút thứ nhất và thứ hai, sẽ còn 8 nút cho lựa chọn thứ ba.

Theo quy tắc nhân, tổng số cách bấm 3 nút liên tiếp khác nhau là:
10 9 8 = 720 cách.

Bước 2: Xác định các trường hợp có tổng các chữ số KHÔNG lớn hơn 3

Điều kiện của bài toán là “tổng lớn hơn 3”. Vậy, chúng ta cần xem xét các trường hợp “tổng KHÔNG lớn hơn 3”, tức là tổng bằng 0, 1, 2, hoặc 3.

* Trường hợp 1: Tổng bằng 0.
Để có tổng bằng 0, ba số phải là 0, 0, 0. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu 3 nút phải khác nhau, nên trường hợp này không thể xảy ra.
Không có cách nào để có tổng bằng 0 với 3 số khác nhau.

* Trường hợp 2: Tổng bằng 1.
Các bộ 3 số khác nhau có tổng bằng 1 là:
– (0, 1, 0): Không được vì có 2 số 0.
– Chỉ có 0 và 1 là các số nhỏ nhất.
Bộ 3 số duy nhất có tổng bằng 1 là (0, 1). Nhưng chúng ta cần 3 số khác nhau.
Nếu ta chọn 0 và 1, thì số thứ ba phải là 1 – 0 – 1 = -1, không có.
Vậy, không có bộ 3 số khác nhau nào có tổng bằng 1.

* Trường hợp 3: Tổng bằng 2.
Các bộ 3 số khác nhau có tổng bằng 2 là:
– (0, 2, 0): Không được vì có 2 số 0.
– (0, 1, 1): Không được vì có 2 số 1.
Chúng ta có thể liệt kê các cặp số nhỏ nhất:
– 0 + 1 + x = 2 => x = 1 (trùng lặp)
– 0 + 2 + x = 2 => x = 0 (trùng lặp)
– 1 + 1 + x = 2 => x = 0 (trùng lặp)
Vậy, không có bộ 3 số khác nhau nào có tổng bằng 2.

* Trường hợp 4: Tổng bằng 3.
Các bộ 3 số khác nhau có tổng bằng 3 là:
– (0, 1, 2)
– (0, 2, 1) (Đây là một hoán vị của (0, 1, 2))
– (1, 0, 2) (Đây là một hoán vị của (0, 1, 2))
– (1, 2, 0) (Đây là một hoán vị của (0, 1, 2))
– (2, 0, 1) (Đây là một hoán vị của (0, 1, 2))
– (2, 1, 0) (Đây là một hoán vị của (0, 1, 2))

Các bộ 3 số khác nhau có tổng bằng 3 là:
– {0, 1, 2}

Với bộ số {0, 1, 2}, chúng ta có thể tạo ra các dãy số theo thứ tự khác nhau. Đây chính là các hoán vị của 3 phần tử {0, 1, 2}.
Số hoán vị của 3 phần tử là:
3! = 3 2 1 = 6 cách.
Cụ thể là: (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0).

Như vậy, chúng ta đã xác định được các trường hợp mà tổng của 3 số KHÔNG lớn hơn 3. Đó chính là các trường hợp có tổng bằng 3, với 6 cách bấm.

Bước 3: Tính số cách để học sinh B có thể mở được cửa

Số cách để học sinh B mở được cửa là tổng số cách bấm 3 nút khác nhau trừ đi số cách bấm mà có tổng các chữ số không lớn hơn 3.

Số cách thỏa mãn điều kiện = (Tổng số cách bấm 3 nút khác nhau) – (Số cách bấm có tổng không lớn hơn 3)
Số cách thỏa mãn điều kiện = 720 – 6
Số cách thỏa mãn điều kiện = 714 cách.

Kết luận:
Có 714 cách để học sinh B có thể mở được cửa.

Chúc các em học tốt!