Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh khá thú vị về tính chia hết. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán lớp 6, trang … ra nào. Chúng ta sẽ cùng làm bài tập sau đây.

Bài toán: Chứng tỏ rằng nếu abc chia hết cho 21 thì a – 2b + 4c chia hết cho 21.

Trước hết, các em hãy hiểu rõ đề bài. “abc” ở đây là một số có ba chữ số, với chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng chục là b và chữ số hàng đơn vị là c. Số này có thể được viết dưới dạng tổng là \(100a + 10b + c\).
“chia hết cho 21” có nghĩa là khi chia số đó cho 21 thì dư 0.
Chúng ta cần chứng minh rằng, nếu \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21, thì biểu thức \(a – 2b + 4c\) cũng chia hết cho 21.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tính chia hết đã học, cụ thể là:
1. Nếu một số chia hết cho 21 thì nó cũng chia hết cho các ước của 21.
2. Tính chất chia hết của một tổng: Nếu A chia hết cho m và B chia hết cho m thì A + B cũng chia hết cho m.
3. Tính chất chia hết của một hiệu: Nếu A chia hết cho m và B chia hết cho m thì A – B cũng chia hết cho m.

Bước 1: Phân tích số abc và biểu thức cần chứng minh.
Số abc được viết dưới dạng: \(100a + 10b + c\).
Biểu thức cần chứng minh là: \(a – 2b + 4c\).

Bước 2: Sử dụng giả thiết đề bài.
Theo giả thiết, ta có \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21.

Bước 3: Biến đổi biểu thức để xuất hiện các thành phần giống với \(a – 2b + 4c\).
Chúng ta sẽ cố gắng làm xuất hiện các số hạng có dạng a, b, c trong biểu thức \(100a + 10b + c\) và liên hệ với biểu thức \(a – 2b + 4c\).
Ta nhận thấy rằng 21 là tích của 3 và 7. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh chia hết cho 21, nên chúng ta sẽ làm việc trực tiếp với 21.

Hãy thử biểu diễn \(100a + 10b + c\) theo một cách khác để có thể liên hệ với \(a – 2b + 4c\).
Ta có thể tách các số hạng:
\(100a = 99a + a\)
\(10b = 12b – 2b\)
\(c = 4c – 3c\)

Thay vào biểu thức \(100a + 10b + c\), ta được:
\(100a + 10b + c = (99a + a) + (12b – 2b) + (4c – 3c)\)
\(100a + 10b + c = 99a + 12b – 3c + a – 2b + 4c\)

Bây giờ, chúng ta nhóm các số hạng lại:
\(100a + 10b + c = (99a + 12b – 3c) + (a – 2b + 4c)\)

Bước 4: Kiểm tra tính chia hết của các nhóm số hạng.
Ta biết rằng 99 chia hết cho 3 và 99 chia hết cho 11, do đó 99 chia hết cho 21 (vì \(99 = 4 \times 21 + 15\)… À, ở đây ta cần cẩn thận. 99 không chia hết cho 21. Vậy cách biến đổi này chưa hợp lý lắm.)

Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác, tập trung vào việc làm xuất hiện \(a – 2b + 4c\).
Ta có \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21.
Hãy nhân \(a – 2b + 4c\) với một số nào đó để nó gần giống với \(100a + 10b + c\).
Ví dụ, nhân với 10: \(10(a – 2b + 4c) = 10a – 20b + 40c\). Vẫn chưa giống lắm.
Nhân với một số khác?

Ta hãy tập trung vào việc làm cho \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21.
Ta biết rằng \(100\) chia cho 21 dư bao nhiêu?
\(100 = 4 \times 21 + 16\). Vậy \(100 \equiv 16 \pmod{21}\).
\(10\) chia cho 21 dư bao nhiêu? \(10 \equiv 10 \pmod{21}\).
\(1\) chia cho 21 dư bao nhiêu? \(1 \equiv 1 \pmod{21}\).

Do đó, \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21 có nghĩa là:
\(100a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\)
Điều này tương đương với:
\(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\)

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh \(a – 2b + 4c\) chia hết cho 21, tức là:
\(a – 2b + 4c \equiv 0 \pmod{21}\)

Ta có hai biểu thức đồng dư:
(1) \(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\)
(2) \(a – 2b + 4c \equiv 0 \pmod{21}\) (đây là điều ta muốn chứng minh)

Hãy thử kết hợp hai biểu thức này.
Nếu ta lấy (1) trừ đi một bội số của (2), hoặc ngược lại, để triệt tiêu a, b hoặc c.

Hãy thử biến đổi (1) một chút. Ta muốn có dạng \(a – 2b + 4c\).
Từ (1): \(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\).
Ta có thể viết lại: \(16a + 10b + c = 21k\) với k là số nguyên nào đó.

Bây giờ, ta xét biểu thức \(a – 2b + 4c\).
Chúng ta muốn làm sao để từ \(16a + 10b + c\) mà có thể suy ra \(a – 2b + 4c\).
Hãy thử nhân biểu thức \(a – 2b + 4c\) với một số nào đó để hệ số của a, b, c “khớp” hơn với \(16a + 10b + c\).

Nhân \(a – 2b + 4c\) với 16:
\(16(a – 2b + 4c) = 16a – 32b + 64c\)
Ta có \(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\).
Vậy, \(16a \equiv -10b – c \pmod{21}\).

Thay \(16a\) vào biểu thức \(16a – 32b + 64c\):
\(16a – 32b + 64c \equiv (-10b – c) – 32b + 64c \pmod{21}\)
\(\equiv -42b + 63c \pmod{21}\)

Ta thấy -42 chia hết cho 21 (\(-42 = -2 \times 21\)) và 63 chia hết cho 21 (\(63 = 3 \times 21\)).
Do đó, \(-42b\) chia hết cho 21 và \(63c\) chia hết cho 21.
Vậy, \(-42b + 63c\) chia hết cho 21.
Ta có: \(-42b + 63c \equiv 0 \pmod{21}\).

Điều này có nghĩa là \(16(a – 2b + 4c) \equiv 0 \pmod{21}\).
Vì \(16(a – 2b + 4c)\) chia hết cho 21.
Ta cần chứng minh \(a – 2b + 4c\) chia hết cho 21.

Ta biết rằng 16 và 21 là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của 16 và 21 là 1).
Khi một tích \(m \times n\) chia hết cho một số p, và m, p là hai số nguyên tố cùng nhau, thì n phải chia hết cho p.
Ở đây, \(m = 16\), \(n = a – 2b + 4c\), và \(p = 21\).
Vì 16 và 21 nguyên tố cùng nhau, và \(16(a – 2b + 4c)\) chia hết cho 21, nên \(a – 2b + 4c\) phải chia hết cho 21.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

Cách trình bày chi tiết hơn theo từng bước:

Bước 1: Phân tích đề bài và sử dụng giả thiết.
Giả sử số có ba chữ số là \(abc\). Ta có thể viết số này dưới dạng biểu thức đại số là \(100a + 10b + c\).
Theo đề bài, ta có \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21.
Điều này có nghĩa là \(100a + 10b + c = 21k\) với k là một số nguyên nào đó.

Bước 2: Biến đổi để tìm mối liên hệ giữa \(100a + 10b + c\) và \(a – 2b + 4c\).
Ta nhận thấy rằng các hệ số của a, b, c trong hai biểu thức khác nhau. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất chia hết để tạo ra một biểu thức mới.

Xét biểu thức \(100a + 10b + c\). Ta có thể phân tích các hệ số theo modulo 21:
\(100 = 4 \times 21 + 16\), vậy \(100 \equiv 16 \pmod{21}\).
\(10 = 0 \times 21 + 10\), vậy \(10 \equiv 10 \pmod{21}\).
\(1 = 0 \times 21 + 1\), vậy \(1 \equiv 1 \pmod{21}\).

Vì \(100a + 10b + c\) chia hết cho 21, nên ta có:
\(100a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\)
Thay các giá trị đồng dư vào, ta được:
\(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\) (1)

Bước 3: Xét biểu thức cần chứng minh và sử dụng kết quả ở Bước 2.
Chúng ta cần chứng minh rằng \(a – 2b + 4c\) chia hết cho 21.
Điều này tương đương với việc chứng minh \(a – 2b + 4c \equiv 0 \pmod{21}\).

Hãy thử nhân biểu thức \(a – 2b + 4c\) với một số thích hợp để có thể liên hệ với biểu thức (1). Ta thấy hệ số của a trong (1) là 16. Ta sẽ nhân \(a – 2b + 4c\) với 16.

Xét \(16 \times (a – 2b + 4c)\):
\(16(a – 2b + 4c) = 16a – 32b + 64c\)

Từ (1), ta biết \(16a + 10b + c \equiv 0 \pmod{21}\).
Điều này suy ra \(16a \equiv -10b – c \pmod{21}\).

Thay \(16a\) vào biểu thức \(16a – 32b + 64c\):
\(16a – 32b + 64c \equiv (-10b – c) – 32b + 64c \pmod{21}\)
\(\equiv -10b – 32b – c + 64c \pmod{21}\)
\(\equiv (-10 – 32)b + (-1 + 64)c \pmod{21}\)
\(\equiv -42b + 63c \pmod{21}\)

Bước 4: Kiểm tra tính chia hết của các số hạng mới.
Ta thấy rằng:
\(-42\) chia hết cho 21 vì \(-42 = -2 \times 21\). Do đó, \(-42b\) chia hết cho 21.
\(63\) chia hết cho 21 vì \(63 = 3 \times 21\). Do đó, \(63c\) chia hết cho 21.

Vì \(-42b\) chia hết cho 21 và \(63c\) chia hết cho 21, nên tổng của chúng là \(-42b + 63c\) cũng chia hết cho 21.
Ta có: \(-42b + 63c \equiv 0 \pmod{21}\).

Bước 5: Kết luận.
Từ các bước trên, ta có:
\(16(a – 2b + 4c) \equiv -42b + 63c \equiv 0 \pmod{21}\)

Như vậy, \(16 \times (a – 2b + 4c)\) chia hết cho 21.
Ta biết rằng 16 và 21 là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của 16 và 21 là 1).
Theo tính chất chia hết, nếu một tích \(m \times n\) chia hết cho một số p, và m, p là hai số nguyên tố cùng nhau, thì n phải chia hết cho p.
Áp dụng vào bài toán này, ta có \(m = 16\), \(n = a – 2b + 4c\), và \(p = 21\).
Vì \(16(a – 2b + 4c)\) chia hết cho 21 và 16, 21 nguyên tố cùng nhau, nên \(a – 2b + 4c\) phải chia hết cho 21.

Vậy, nếu \(abc\) chia hết cho 21 thì \(a – 2b + 4c\) chia hết cho 21. Điều phải chứng minh đã được khẳng định.

Các em có thắc mắc gì về bài toán này không? Hãy hỏi ngay nhé! Chúng ta đã sử dụng các kiến thức về đồng dư thức và tính chất của các số nguyên tố cùng nhau để giải bài toán. Đây là một cách chứng minh khá hiệu quả và các em nên ghi nhớ để áp dụng cho những bài tập tương tự.