Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các hệ phương trình trong sách giáo khoa. Đây là một dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi các em nắm vững các phương pháp giải như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và kỹ năng biến đổi biểu thức. Chúng ta hãy cùng nhau đi qua từng bài một nhé!

Bài giải:

a) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{3}{x} – \frac{1}{y} = 7 \quad (1) \\
\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.
Để các phân thức có nghĩa, ta phải có \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \).

Bước 2: Đặt ẩn phụ.
Nhận thấy trong hệ có các biểu thức \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{y} \). Để đơn giản hóa hệ phương trình, ta sẽ đặt ẩn phụ như sau:
Đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \).

Bước 3: Chuyển hệ phương trình về dạng theo ẩn phụ.
Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:
\[
\begin{cases}
3a – b = 7 \quad (1′) \\
2a + b = 8 \quad (2′)
\end{cases}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Ta nhận thấy hệ phương trình (1′) và (2′) có hệ số của \( b \) đối nhau (\( -1 \) và \( 1 \)). Đây là điều kiện lý tưởng để sử dụng phương pháp cộng đại số.
Cộng từng vế của phương trình (1′) và (2′), ta được:
\( (3a – b) + (2a + b) = 7 + 8 \)
\( 5a = 15 \)
\( a = \frac{15}{5} \)
\( a = 3 \)

Thay giá trị \( a = 3 \) vào phương trình (1′), ta có:
\( 3(3) – b = 7 \)
\( 9 – b = 7 \)
\( -b = 7 – 9 \)
\( -b = -2 \)
\( b = 2 \)

Vậy, ta tìm được \( a = 3 \) và \( b = 2 \).

Bước 5: Thay ngược trở lại để tìm \( x \) và \( y \).
Với \( a = \frac{1}{x} \), ta có \( 3 = \frac{1}{x} \). Suy ra \( x = \frac{1}{3} \).
Với \( b = \frac{1}{y} \), ta có \( 2 = \frac{1}{y} \). Suy ra \( y = \frac{1}{2} \).

Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Giá trị \( x = \frac{1}{3} \) và \( y = \frac{1}{2} \) đều thỏa mãn điều kiện \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \).
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = \left( \frac{1}{3}; \frac{1}{2} \right) \).

————————————————————————————————————————————

b) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3x+1-y=6-2y \quad (1) \\
2x-y=7 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 1: Rút gọn phương trình (1).
Ta biến đổi phương trình (1) về dạng chuẩn \( Ax + By = C \):
\( 3x+1-y = 6-2y \)
Chuyển các hạng tử chứa \( y \) về một vế, các hằng số về một vế:
\( 3x – y + 2y = 6 – 1 \)
\( 3x + y = 5 \quad (1′) \)

Bước 2: Viết lại hệ phương trình đã rút gọn.
Hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
3x + y = 5 \quad (1′) \\
2x – y = 7 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 3: Giải hệ phương trình.
Ta nhận thấy hệ số của \( y \) trong hai phương trình (1′) và (2) là \( 1 \) và \( -1 \), tức là đối nhau. Ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số.
Cộng từng vế của phương trình (1′) và (2), ta được:
\( (3x + y) + (2x – y) = 5 + 7 \)
\( 5x = 12 \)
\( x = \frac{12}{5} \)

Thay giá trị \( x = \frac{12}{5} \) vào phương trình (1′), ta có:
\( 3 \left( \frac{12}{5} \right) + y = 5 \)
\( \frac{36}{5} + y = 5 \)
\( y = 5 – \frac{36}{5} \)
\( y = \frac{25}{5} – \frac{36}{5} \)
\( y = -\frac{11}{5} \)

Bước 4: Kết luận.
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = \left( \frac{12}{5}; -\frac{11}{5} \right) \).

————————————————————————————————————————————

c) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{5x}{x+1} – \frac{3y}{y-3} = 27 \quad (1) \\
\frac{2x}{x+1} – \frac{3y}{y-3} = 4 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.
Để các phân thức có nghĩa, ta phải có \( x+1 \neq 0 \) và \( y-3 \neq 0 \).
Tức là \( x \neq -1 \) và \( y \neq 3 \).

Bước 2: Đặt ẩn phụ.
Nhận thấy trong hệ có các biểu thức \( \frac{x}{x+1} \) và \( \frac{y}{y-3} \). Để đơn giản hóa hệ phương trình, ta sẽ đặt ẩn phụ như sau:
Đặt \( u = \frac{x}{x+1} \) và \( v = \frac{y}{y-3} \).

Bước 3: Chuyển hệ phương trình về dạng theo ẩn phụ.
Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:
\[
\begin{cases}
5u – 3v = 27 \quad (1′) \\
2u – 3v = 4 \quad (2′)
\end{cases}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Ta nhận thấy hệ phương trình (1′) và (2′) có hệ số của \( v \) bằng nhau (\( -3 \) và \( -3 \)). Ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số bằng cách trừ phương trình (2′) cho phương trình (1′) (hoặc ngược lại).
Trừ từng vế của phương trình (2′) cho (1′), ta được:
\( (2u – 3v) – (5u – 3v) = 4 – 27 \)
\( 2u – 3v – 5u + 3v = -23 \)
\( -3u = -23 \)
\( u = \frac{-23}{-3} \)
\( u = \frac{23}{3} \)

Thay giá trị \( u = \frac{23}{3} \) vào phương trình (2′), ta có:
\( 2 \left( \frac{23}{3} \right) – 3v = 4 \)
\( \frac{46}{3} – 3v = 4 \)
\( -3v = 4 – \frac{46}{3} \)
\( -3v = \frac{12}{3} – \frac{46}{3} \)
\( -3v = -\frac{34}{3} \)
\( v = \left( -\frac{34}{3} \right) \div (-3) \)
\( v = \frac{34}{9} \)

Vậy, ta tìm được \( u = \frac{23}{3} \) và \( v = \frac{34}{9} \).

Bước 5: Thay ngược trở lại để tìm \( x \) và \( y \).
Với \( u = \frac{x}{x+1} \), ta có \( \frac{23}{3} = \frac{x}{x+1} \).
Nhân chéo, ta được:
\( 23(x+1) = 3x \)
\( 23x + 23 = 3x \)
\( 23x – 3x = -23 \)
\( 20x = -23 \)
\( x = -\frac{23}{20} \)

Với \( v = \frac{y}{y-3} \), ta có \( \frac{34}{9} = \frac{y}{y-3} \).
Nhân chéo, ta được:
\( 34(y-3) = 9y \)
\( 34y – 102 = 9y \)
\( 34y – 9y = 102 \)
\( 25y = 102 \)
\( y = \frac{102}{25} \)

Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Giá trị \( x = -\frac{23}{20} \) và \( y = \frac{102}{25} \) đều thỏa mãn điều kiện \( x \neq -1 \) và \( y \neq 3 \).
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = \left( -\frac{23}{20}; \frac{102}{25} \right) \).

Chúc các em học tốt và luôn tự tin khi giải các bài toán hệ phương trình nhé!