Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 6 của mình, đó là tìm các ước của một số tự nhiên. Bài toán của chúng ta là tìm các ước của số 180.

Thầy/Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết để chúng ta không những giải được bài này mà còn nắm vững phương pháp để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!

Bước 1: Hiểu rõ khái niệm “ước” của một số tự nhiên.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa: Số tự nhiên \(a\) được gọi là ước của số tự nhiên \(b\) nếu số \(b\) chia hết cho số \(a\). Nói cách khác, \(b\) chia cho \(a\) mà không có số dư. Ký hiệu là \(a | b\).

Ví dụ: 3 là ước của 6 vì 6 chia hết cho 3 (6 : 3 = 2). 4 không phải là ước của 6 vì 6 chia 4 dư 2.

Bài toán của chúng ta yêu cầu tìm tất cả các số tự nhiên mà 180 chia hết cho chúng.

Bước 2: Phương pháp tìm ước hiệu quả nhất – Phân tích số ra thừa số nguyên tố.

Để tìm tất cả các ước của một số một cách đầy đủ, chính xác và không bỏ sót, phương pháp hiệu quả nhất mà chúng ta đã học là phân tích số đó ra thừa số nguyên tố.

Tại sao lại dùng phương pháp này? Vì mọi ước của một số đều được tạo thành từ các thừa số nguyên tố của chính số đó. Khi chúng ta có “nguyên liệu” là các thừa số nguyên tố, chúng ta có thể “lắp ráp” chúng theo nhiều cách khác nhau để tạo ra tất cả các ước của số đó.

Bước 3: Phân tích số 180 ra thừa số nguyên tố.

Chúng ta sẽ thực hiện phép chia 180 cho các số nguyên tố nhỏ nhất trở đi cho đến khi thương bằng 1:

• 180 chia hết cho 2: \(180 = 2 \times 90\)
• 90 chia hết cho 2: \(90 = 2 \times 45\)
• 45 không chia hết cho 2, nhưng chia hết cho 3: \(45 = 3 \times 15\)
• 15 chia hết cho 3: \(15 = 3 \times 5\)
• 5 là số nguyên tố.

Vậy, ta có thể viết 180 dưới dạng tích các thừa số nguyên tố là:

\[180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\]

Hay viết gọn hơn dưới dạng lũy thừa là:

\[180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1\]

Đây là “công thức” độc đáo của số 180, giống như “mã gen” của nó vậy! Mọi ước của 180 đều được tạo thành từ các thừa số nguyên tố 2, 3 và 5 với số mũ không vượt quá số mũ của chúng trong phân tích của 180.

Bước 4: Tìm các ước từ các thừa số nguyên tố.

Bây giờ, chúng ta sẽ “lắp ráp” các ước từ các thừa số nguyên tố \(2^2\), \(3^2\) và \(5^1\). Mỗi ước của 180 sẽ có dạng \(2^a \times 3^b \times 5^c\), trong đó:

• Số mũ của 2 (ký hiệu là \(a\)) có thể là 0, 1 hoặc 2 (vì chúng ta có tối đa hai số 2).
• Số mũ của 3 (ký hiệu là \(b\)) có thể là 0, 1 hoặc 2 (vì chúng ta có tối đa hai số 3).
• Số mũ của 5 (ký hiệu là \(c\)) có thể là 0 hoặc 1 (vì chúng ta có tối đa một số 5).

Chúng ta sẽ liệt kê một cách có hệ thống để không bỏ sót bất kỳ ước nào:

• Các ước tạo bởi \(2^2\): \(2^0=1\), \(2^1=2\), \(2^2=4\).
• Các ước tạo bởi \(3^2\): \(3^0=1\), \(3^1=3\), \(3^2=9\).
• Các ước tạo bởi \(5^1\): \(5^0=1\), \(5^1=5\).

Bây giờ, chúng ta nhân các tổ hợp này lại với nhau:

Thừa số 2	Thừa số 3	Thừa số 5	Ước
1	1	1	\(1 \times 1 \times 1 = 1\)
1	1	5	\(1 \times 1 \times 5 = 5\)
1	3	1	\(1 \times 3 \times 1 = 3\)
1	3	5	\(1 \times 3 \times 5 = 15\)
1	9	1	\(1 \times 9 \times 1 = 9\)
1	9	5	\(1 \times 9 \times 5 = 45\)
2	1	1	\(2 \times 1 \times 1 = 2\)
2	1	5	\(2 \times 1 \times 5 = 10\)
2	3	1	\(2 \times 3 \times 1 = 6\)
2	3	5	\(2 \times 3 \times 5 = 30\)
2	9	1	\(2 \times 9 \times 1 = 18\)
2	9	5	\(2 \times 9 \times 5 = 90\)
4	1	1	\(4 \times 1 \times 1 = 4\)
4	1	5	\(4 \times 1 \times 5 = 20\)
4	3	1	\(4 \times 3 \times 1 = 12\)
4	3	5	\(4 \times 3 \times 5 = 60\)
4	9	1	\(4 \times 9 \times 1 = 36\)
4	9	5	\(4 \times 9 \times 5 = 180\)

Kiểm tra số lượng ước:

Để đảm bảo chúng ta không thiếu ước nào, chúng ta có thể dùng công thức tính số lượng ước. Nếu một số N có phân tích thừa số nguyên tố là \(N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\), thì số lượng ước của N là \((a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots \times (a_k+1)\).

Với 180, ta có \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1\). Vậy số lượng ước là:

\[(2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18\]

Chúng ta đếm lại bảng trên, có đúng 18 ước. Vậy là chính xác rồi!

Bước 5: Liệt kê các ước của 180 theo thứ tự tăng dần.

Sau khi đã tổng hợp đầy đủ, chúng ta sắp xếp các ước theo thứ tự tăng dần:

Các ước của 180 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Lời kết:

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán một cách xuất sắc! Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố là một công cụ cực kỳ hữu ích, không chỉ giúp chúng ta tìm ước mà còn giải quyết nhiều bài toán khác liên quan đến bội, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo phương pháp này nhé!