Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết hai bài tập này theo đúng chương trình Toán lớp 8 nhé. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước để hiểu rõ bản chất của bài toán.

CÂU 1
Để rút gọn được phân thức, chúng ta cần phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử. Mục tiêu là tìm ra nhân tử chung để có thể triệt tiêu.

Bước 1: Phân tích tử thức \(x^2+5x+6\) thành nhân tử.
Đây là một tam thức bậc hai. Chúng ta sẽ dùng phương pháp tách hạng tử ở giữa (hạng tử \(5x\)).
Ta cần tìm hai số có tổng bằng \(5\) và có tích bằng \(6\). Dễ dàng nhận thấy hai số đó là \(2\) và \(3\).
Vì vậy, ta tách \(5x\) thành \(2x + 3x\).
Ta có:
\(x^2+5x+6\) = \(x^2+2x+3x+6\)
Bây giờ, ta nhóm các hạng tử:
= \((x^2+2x) + (3x+6)\)
Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:
= \(x(x+2) + 3(x+2)\)
Xuất hiện nhân tử chung mới là \((x+2)\), ta tiếp tục đặt nhân tử chung:
= \((x+2)(x+3)\)

Bước 2: Phân tích mẫu thức \(x^2+4x+4\) thành nhân tử.
Ta nhận thấy mẫu thức có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương của một tổng.
Công thức: \(A^2+2AB+B^2 = (A+B)^2\)
Áp dụng vào mẫu thức, ta có: \(x^2+4x+4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2\)
Với \(A=x\) và \(B=2\), ta được:
\(x^2+4x+4 = (x+2)^2\)

Bước 3: Rút gọn phân thức.
Bây giờ, ta thay các kết quả đã phân tích vào phân thức ban đầu:
\(\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}\) = \(\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}\)
Ta thấy cả tử và mẫu đều có nhân tử chung là \((x+2)\). Ta chia cả tử và mẫu cho \((x+2)\) (với điều kiện \(x+2 \neq 0\) hay \(x \neq -2\)).
= \(\frac{x+3}{x+2}\)
Kết luận: Phân thức sau khi rút gọn là \(\frac{x+3}{x+2}\).

CÂU 2
Với bài toán này, chúng ta sẽ thay giá trị của \(M\) vào biểu thức, sau đó giải phương trình để tìm \(x\).

Bước 1: Viết phương trình.
Đề bài cho \(M=2\). Ta thay vào biểu thức của \(M\):
\(\frac{x+3}{x-3} = 2\)
Điều kiện xác định của bài toán là \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\).

Bước 2: Giải phương trình.
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu này, ta sẽ quy đồng mẫu thức hai vế. Cách đơn giản nhất là nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức \((x-3)\):
\(\frac{x+3}{x-3} \cdot (x-3) = 2 \cdot (x-3)\)
\(x+3 = 2(x-3)\)
Bây giờ, ta thực hiện phép nhân ở vế phải:
\(x+3 = 2x – 6\)
Tiếp theo, ta chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế, các hằng số về vế còn lại. Thầy sẽ chuyển \(x\) sang vế phải và \(-6\) sang vế trái:
\(3 + 6 = 2x – x\)
\(9 = x\)
Vậy, ta tìm được \(x = 9\).

Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định.
Ta cần kiểm tra xem giá trị \(x=9\) có thỏa mãn điều kiện ban đầu (\(x \neq 3\) và \(x \neq -3\)) hay không.
Rõ ràng, \(9 \neq 3\) và \(9 \neq -3\). Do đó, giá trị \(x=9\) là thỏa mãn.
Kết luận: Vậy với \(x=9\) thì \(M=2\).

Chúc các em học tốt