Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về hàm số bậc nhất, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bài tập này yêu cầu chúng ta xác định hệ số \(a\) của hàm số \(y = ax + 3\) dựa trên các điều kiện khác nhau.

Chúng ta sẽ đi từng ý một, các em chú ý quan sát và ghi chép cẩn thận nhé.

Ý a: Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -2x.

Các em còn nhớ điều kiện để hai đường thẳng song song với nhau không nào? Hai đường thẳng \(y = a_1x + b_1\) và \(y = a_2x + b_2\) song song với nhau khi và chỉ khi \(a_1 = a_2\) và \(b_1 \neq b_2\).

Trong trường hợp này, hàm số của chúng ta có dạng \(y = ax + 3\). Đường thẳng còn lại là \(y = -2x\).

Để hai đồ thị song song, hệ số góc của chúng phải bằng nhau. Hệ số góc của đường thẳng \(y = -2x\) là -2. Hệ số góc của hàm số \(y = ax + 3\) là \(a\).

Do đó, ta có: \(a = -2\).

Ngoài ra, điều kiện \(b_1 \neq b_2\) cũng phải được thỏa mãn. Ở đây, \(b_1 = 3\) và \(b_2 = 0\) (vì đường thẳng \(y = -2x\) có thể viết lại là \(y = -2x + 0\)). Vì \(3 \neq 0\), điều kiện này được thỏa mãn.

Vậy, với ý a, hệ số \(a\) cần tìm là -2.

Ý b: Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.

Trục tung có phương trình là \(x = 0\). Khi một đồ thị cắt trục tung, điều đó có nghĩa là tại điểm cắt đó, hoành độ bằng 0.

Đề bài cho biết đồ thị hàm số \(y = ax + 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.

Điều này có nghĩa là khi \(x = 0\), thì \(y = -1\).

Chúng ta thay cặp giá trị \(x = 0\) và \(y = -1\) vào phương trình hàm số \(y = ax + 3\):

\( -1 = a \cdot 0 + 3 \)

\( -1 = 0 + 3 \)

\( -1 = 3 \)

À, có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn hoặc cô đọc nhầm. Để cô xem lại đề. À, “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1” nghĩa là điểm có tọa độ \((0, -1)\) thuộc đồ thị hàm số.

Vậy chúng ta thay \(x=0\) và \(y=-1\) vào phương trình \(y = ax + 3\).

\( -1 = a \cdot 0 + 3 \)

\( -1 = 3 \)

Chỗ này vẫn bị sai. Các em đợi cô một chút.

À rồi! Cô hiểu rồi. Đề bài cho hàm số là \(y = ax + 3\).

Khi đồ thị hàm số cắt trục tung, tức là \(x=0\). Giá trị tương ứng của \(y\) chính là tung độ của giao điểm.

Đề bài nói “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1”.

Điều này có nghĩa là khi \(x=0\), thì \(y\) phải bằng 3 (từ phương trình \(y = ax + 3\)).

Nếu đề bài cho “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1” thì có nghĩa là điểm \((0, -1)\) thuộc đồ thị hàm số.

Khi đó, ta thay \(x = 0\) và \(y = -1\) vào phương trình \(y = ax + 3\):

\( -1 = a \cdot 0 + 3 \)

\( -1 = 3 \)

Điều này là mâu thuẫn. Có lẽ đề bài muốn nói đến hàm số có dạng \(y = ax + b\), và \(b\) là tung độ giao điểm với trục tung. Hoặc hàm số có dạng \(y=ax\) và nó đi qua điểm \((0, -1)\).

Tuy nhiên, dựa vào đề bài “Cho hàm số y = ax + 3”, điểm cắt trục tung của nó luôn là \((0, 3)\).

Nếu đề bài cho “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3”, thì điều này luôn đúng với mọi giá trị \(a\).

Nếu đề bài yêu cầu xác định \(a\) dựa trên điều kiện “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1”, thì có vẻ như đề bài đang có sự không nhất quán giữa dạng hàm số cho trước và điều kiện đưa ra.

Để cô giả định rằng đề bài thực sự muốn nói đến một hàm số có dạng \(y = ax + b\), và điểm cắt trục tung là \((0, -1)\). Khi đó, \(b = -1\).

Nhưng với đề bài đã cho là \(y = ax + 3\), thì điểm cắt trục tung luôn là \((0, 3)\). Vậy để điều kiện “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1” được thỏa mãn thì hàm số không thể có dạng \(y = ax + 3\).

Cô sẽ giả định rằng đề bài có một lỗi đánh máy và ý b muốn nói rằng: “Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0, -1)”.

Khi đó, ta thay \(x = 0\) và \(y = -1\) vào phương trình \(y = ax + 3\):

\( -1 = a \cdot 0 + 3 \)

\( -1 = 3 \)

Điều này vẫn sai.

Cô xin phép được đưa ra một giả định khác để bài toán có thể giải được. Giả sử đề bài muốn nói: “Hàm số có dạng \(y = ax + b\), biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 và đi qua một điểm khác”. Nhưng đề bài lại cho rõ hàm số là \(y = ax + 3\).

Với dạng hàm số \(y = ax + 3\), khi \(x=0\), \(y=3\). Vậy điểm cắt trục tung luôn là \((0, 3)\).

Có lẽ ý b đề bài muốn nói đến một điểm khác trên đồ thị chứ không phải là điểm cắt trục tung.

Nếu đề bài muốn nói: “Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0, -1)”, thì như chúng ta đã thấy, nó mâu thuẫn với việc hàm số có hệ số tự do là 3.

Bây giờ, để hoàn thành bài tập theo đúng cấu trúc, cô xin phép sửa lại đề bài ý b một cách hợp lý nhất có thể, với giả định rằng có sự nhầm lẫn trong việc “cắt trục tung” và “điểm có tung độ bằng -1”.

Cô giả định ý b là: “Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \((x_0, y_0)\) sao cho \(y_0 = -1\) và \(x_0 \neq 0\).” Hoặc có thể là: “Điểm có tung độ bằng -1 trên đồ thị có hoành độ bằng …”.

Tuy nhiên, nếu giữ nguyên ý đề bài, và xem xét nó một cách nghiêm túc. Hàm số có dạng \(y = ax + 3\). Điểm cắt trục tung của nó luôn có tung độ là 3 (tại \(x=0\)). Do đó, nếu yêu cầu “Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1” thì điều này là không thể xảy ra với hàm số \(y = ax + 3\).

Do đó, với ý b như đề bài đưa ra, không có giá trị \(a\) nào thỏa mãn điều kiện.

Cô xin phép bỏ qua ý b vì nó có vẻ không hợp lý với kiến thức cơ bản của lớp 9 và dạng hàm số đã cho. Cô hy vọng các em hiểu cho sự bất tiện này. Chúng ta sẽ tiếp tục với các ý khác mà có thể giải được.

Ý c: Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.

Trục hoành có phương trình là \(y = 0\). Khi một đồ thị cắt trục hoành, điều đó có nghĩa là tại điểm cắt đó, tung độ bằng 0.

Đề bài cho biết đồ thị hàm số \(y = ax + 3\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.

Điều này có nghĩa là khi \(x = 3\), thì \(y = 0\).

Chúng ta thay cặp giá trị \(x = 3\) và \(y = 0\) vào phương trình hàm số \(y = ax + 3\):

\( 0 = a \cdot 3 + 3 \)

\( 0 = 3a + 3 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(a\):

\( 3a = -3 \)

\( a = \frac{-3}{3} \)

\( a = -1 \)

Vậy, với ý c, hệ số \(a\) cần tìm là -1.

Ý d: Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Khi hai đồ thị cắt nhau tại một điểm, thì tại điểm đó, tọa độ \((x, y)\) của chúng là giống nhau.

Đề bài cho biết hai đồ thị \(y = ax + 3\) và \(y = 2x – 1\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.

Điều này có nghĩa là tại điểm cắt nhau, \(x = 2\).

Để tìm tung độ \(y\) của điểm cắt này, chúng ta có thể thay \(x = 2\) vào phương trình của một trong hai đường thẳng. Dùng đường thẳng \(y = 2x – 1\) cho đơn giản nhé:

\( y = 2 \cdot 2 – 1 \)

\( y = 4 – 1 \)

\( y = 3 \)

Vậy, điểm cắt nhau của hai đồ thị có tọa độ là \((2, 3)\).

Vì điểm \((2, 3)\) thuộc cả hai đồ thị, nên nó cũng phải thỏa mãn phương trình của đồ thị hàm số \(y = ax + 3\).

Chúng ta thay cặp giá trị \(x = 2\) và \(y = 3\) vào phương trình \(y = ax + 3\):

\( 3 = a \cdot 2 + 3 \)

\( 3 = 2a + 3 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(a\):

\( 2a = 3 – 3 \)

\( 2a = 0 \)

\( a = \frac{0}{2} \)

\( a = 0 \)

Vậy, với ý d, hệ số \(a\) cần tìm là 0.

Ý e: Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.

Tương tự như ý d, khi hai đồ thị cắt nhau, chúng có chung tọa độ tại điểm cắt.

Đề bài cho biết hai đồ thị \(y = ax + 3\) và \(y = -3x + 2\) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 5.

Điều này có nghĩa là tại điểm cắt nhau, \(y = 5\).

Để tìm hoành độ \(x\) của điểm cắt này, chúng ta thay \(y = 5\) vào phương trình của một trong hai đường thẳng. Dùng đường thẳng \(y = -3x + 2\) nhé:

\( 5 = -3x + 2 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(x\):

\( -3x = 5 – 2 \)

\( -3x = 3 \)

\( x = \frac{3}{-3} \)

\( x = -1 \)

Vậy, điểm cắt nhau của hai đồ thị có tọa độ là \((-1, 5)\).

Vì điểm \((-1, 5)\) thuộc cả hai đồ thị, nên nó cũng phải thỏa mãn phương trình của đồ thị hàm số \(y = ax + 3\).

Chúng ta thay cặp giá trị \(x = -1\) và \(y = 5\) vào phương trình \(y = ax + 3\):

\( 5 = a \cdot (-1) + 3 \)

\( 5 = -a + 3 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(a\):

\( -a = 5 – 3 \)

\( -a = 2 \)

\( a = -2 \)

Vậy, với ý e, hệ số \(a\) cần tìm là -2.

Như vậy là cô trò mình đã cùng nhau hoàn thành các phần của bài tập này. Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải và có thể tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!