Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em giải một bài tập rất hay về sự cân bằng của điện tích trong trường điện. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi và rất quan trọng để nắm vững kiến thức về Định luật Coulomb và nguyên lí chồng chất điện trường. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé!

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI:
Chúng ta có hai điện tích điểm dương \(q_1\) và \(q_2\) đặt cố định. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm vị trí, dấu và độ lớn của một điện tích thứ ba \(q_o\) để nó nằm cân bằng. “Nằm cân bằng” ở đây có nghĩa là tổng hợp lực điện tác dụng lên \(q_o\) phải bằng không. Để tổng hợp lực bằng không, các lực thành phần phải cùng phương, ngược chiều và có độ lớn bằng nhau.

a/ Tìm vị trí đặt \(q_o\)

Bước 1: Xác định vùng có thể đặt \(q_o\) để nó cân bằng.
Chúng ta hãy hình dung \(q_1\) và \(q_2\) được đặt trên một đường thẳng (ví dụ: trục Ox). Gọi \(L\) là khoảng cách giữa \(q_1\) và \(q_2\), ở đây \(L = 10 \text{ cm}\).
Có ba vùng có thể đặt điện tích \(q_o\):

• Vùng 1: Ngoài đoạn thẳng nối \(q_1, q_2\), nằm về phía \(q_1\).
• Vùng 2: Trong đoạn thẳng nối \(q_1, q_2\).
• Vùng 3: Ngoài đoạn thẳng nối \(q_1, q_2\), nằm về phía \(q_2\).

Chúng ta sẽ xét các trường hợp:

• Tại Vùng 1 (bên ngoài \(q_1\)):
  • Nếu \(q_o\) dương (\(q_o > 0\)): \(q_1\) (dương) đẩy \(q_o\) sang trái, \(q_2\) (dương) đẩy \(q_o\) sang trái. Hai lực này cùng chiều, nên không thể triệt tiêu nhau.
  • Nếu \(q_o\) âm (\(q_o < 0\)): \(q_1\) (dương) hút \(q_o\) sang phải, \(q_2\) (dương) hút \(q_o\) sang phải. Hai lực này cũng cùng chiều, không thể triệt tiêu.

  Như vậy, \(q_o\) không thể cân bằng ở Vùng 1.

• Tại Vùng 3 (bên ngoài \(q_2\)):
  • Nếu \(q_o\) dương (\(q_o > 0\)): \(q_1\) (dương) đẩy \(q_o\) sang phải, \(q_2\) (dương) đẩy \(q_o\) sang phải. Hai lực cùng chiều, không thể triệt tiêu.
  • Nếu \(q_o\) âm (\(q_o < 0\)): \(q_1\) (dương) hút \(q_o\) sang trái, \(q_2\) (dương) hút \(q_o\) sang trái. Hai lực cùng chiều, không thể triệt tiêu.

  Như vậy, \(q_o\) không thể cân bằng ở Vùng 3.

• Tại Vùng 2 (giữa \(q_1\) và \(q_2\)):
  • Nếu \(q_o\) dương (\(q_o > 0\)): \(q_1\) (dương) đẩy \(q_o\) sang phải, \(q_2\) (dương) đẩy \(q_o\) sang trái. Hai lực này ngược chiều nhau.
  • Nếu \(q_o\) âm (\(q_o < 0\)): \(q_1\) (dương) hút \(q_o\) sang trái, \(q_2\) (dương) hút \(q_o\) sang phải. Hai lực này cũng ngược chiều nhau.

  Trong cả hai trường hợp, các lực tác dụng lên \(q_o\) đều ngược chiều. Do đó, chúng có thể triệt tiêu nhau và \(q_o\) có thể nằm cân bằng ở Vùng 2.

Kết luận Bước 1: Điện tích \(q_o\) phải nằm trên đường thẳng nối \(q_1\) và \(q_2\), và nằm ở giữa hai điện tích này.

Bước 2: Thiết lập phương trình cân bằng.
Đặt \(q_o\) cách \(q_1\) một khoảng \(r_1\) và cách \(q_2\) một khoảng \(r_2\). Vì \(q_o\) nằm giữa \(q_1\) và \(q_2\), ta có:
\[r_1 + r_2 = L = 10 \text{ cm}\]
Để \(q_o\) cân bằng, tổng hợp lực tác dụng lên nó phải bằng không. Do các lực \(\vec{F}_1\) (lực do \(q_1\) tác dụng lên \(q_o\)) và \(\vec{F}_2\) (lực do \(q_2\) tác dụng lên \(q_o\)) ngược chiều nhau, điều kiện cân bằng là độ lớn của chúng phải bằng nhau:
\[F_1 = F_2\]
Theo Định luật Coulomb, độ lớn lực điện giữa hai điện tích điểm là:
\[F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}\]
Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:
\[k \frac{|q_1 q_o|}{r_1^2} = k \frac{|q_2 q_o|}{r_2^2}\]
Vì \(k\) (hằng số Coulomb) khác không và \(q_o\) là điện tích cần đặt nên \(|q_o|\) cũng khác không, chúng ta có thể rút gọn \(k\) và \(|q_o|\) ở cả hai vế:
\[\frac{|q_1|}{r_1^2} = \frac{|q_2|}{r_2^2}\]
Vì \(q_1\) và \(q_2\) đều là điện tích dương, \(|q_1| = q_1\) và \(|q_2| = q_2\):
\[\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{r_2^2}\]

Bước 3: Giải phương trình để tìm vị trí \(q_o\).
Chúng ta có các giá trị:
\(q_1 = 2 \text{ nC} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}\)
\(q_2 = 18 \text{ nC} = 18 \times 10^{-9} \text{ C}\)
\(L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\)

Đặt khoảng cách từ \(q_1\) đến \(q_o\) là \(r_1 = x\). Khi đó, khoảng cách từ \(q_2\) đến \(q_o\) sẽ là \(r_2 = L – x = 10 – x\).
Thay vào phương trình cân bằng:
\[\frac{2 \times 10^{-9}}{x^2} = \frac{18 \times 10^{-9}}{(10 – x)^2}\]
Chúng ta có thể chia cả hai vế cho \(10^{-9}\):
\[\frac{2}{x^2} = \frac{18}{(10 – x)^2}\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[\frac{1}{x^2} = \frac{9}{(10 – x)^2}\]
Lấy căn bậc hai cả hai vế. Vì \(x\) và \(10-x\) là các khoảng cách nên chúng phải là giá trị dương:
\[\sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{9}{(10 – x)^2}}\]
\[\frac{1}{x} = \frac{3}{10 – x}\]
Thực hiện phép nhân chéo:
\[1 \times (10 – x) = 3x\]
\[10 – x = 3x\]
Chuyển \(x\) sang một vế:
\[10 = 3x + x\]
\[10 = 4x\]
\[x = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ cm}\]

Vậy, điện tích \(q_o\) phải được đặt cách \(q_1\) một khoảng \(2.5 \text{ cm}\) và cách \(q_2\) một khoảng \(10 \text{ cm} – 2.5 \text{ cm} = 7.5 \text{ cm}\).

b/ Tìm dấu và độ lớn của \(q_o\)

Bước 1: Xét dấu của \(q_o\).
Trong quá trình phân tích ở Bước 1 của phần a/, chúng ta đã thấy rằng, dù \(q_o\) mang dấu dương (\(q_o > 0\)) hay dấu âm (\(q_o < 0\)), khi đặt \(q_o\) ở giữa \(q_1\) và \(q_2\), các lực \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\) tác dụng lên nó luôn ngược chiều nhau. Điều này cho phép chúng có thể triệt tiêu để \(q_o\) nằm cân bằng. Do đó, dấu của \(q_o\) có thể là dương hoặc âm.

Bước 2: Xét độ lớn của \(q_o\).
Quay lại phương trình cân bằng độ lớn mà chúng ta đã thiết lập:
\[k \frac{|q_1 q_o|}{r_1^2} = k \frac{|q_2 q_o|}{r_2^2}\]
Trong phương trình này, đại lượng \(|q_o|\) đã được rút gọn ở cả hai vế. Điều này có ý nghĩa rằng: vị trí cân bằng của \(q_o\) chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ độ lớn của \(q_1\) và \(q_2\), cùng với khoảng cách giữa chúng, chứ không phụ thuộc vào độ lớn của chính \(q_o\).
Vì vậy, độ lớn của \(q_o\) có thể là bất kỳ giá trị nào khác không (\(q_o \ne 0\)). Nếu \(q_o = 0\), thì không có lực tác dụng lên nó và nó “cân bằng” một cách hiển nhiên, nhưng không phải là một điện tích có giá trị.

KẾT LUẬN CUỐI CÙNG:

• a/ Vị trí đặt \(q_o\): Điện tích \(q_o\) được đặt trên đường thẳng nối \(q_1\) và \(q_2\), cách \(q_1\) một khoảng \(2.5 \text{ cm}\) và cách \(q_2\) một khoảng \(7.5 \text{ cm}\).
• b/ Dấu và độ lớn của \(q_o\): Điện tích \(q_o\) có thể mang dấu dương hoặc âm, và có thể có bất kỳ độ lớn nào khác không.

Các em thấy đó, bài toán này không chỉ kiểm tra khả năng áp dụng công thức mà còn yêu cầu sự tư duy logic và phân tích các trường hợp. Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xác định vị trí cân bằng của một điện tích điểm. Chúc các em học tốt!