Chào các em học sinh thân mến! Rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đây là một dạng phương trình lượng giác khá cơ bản và thường gặp trong chương trình Toán 11, đòi hỏi chúng ta vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác đã học.

Chúng ta cùng bắt tay vào giải phương trình nhé:
Phương trình đã cho là:
\[ \sin 2x – \sin^2 x = 0 \]

Bước 1: Áp dụng công thức nhân đôi cho \( \sin 2x \)
Để đưa các biểu thức về cùng một loại góc (\( x \)), chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác nhân đôi cho \( \sin 2x \).
Chúng ta biết rằng:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:
\[ 2 \sin x \cos x – \sin^2 x = 0 \]

Bước 2: Phân tích thành nhân tử chung
Quan sát phương trình, chúng ta thấy cả hai số hạng đều có thừa số chung là \( \sin x \). Chúng ta sẽ đặt \( \sin x \) làm nhân tử chung:
\[ \sin x (2 \cos x – \sin x) = 0 \]

Bước 3: Giải các trường hợp
Phương trình dạng tích \( A \cdot B = 0 \) sẽ cho ra hai trường hợp: \( A = 0 \) hoặc \( B = 0 \).
Ở đây, chúng ta có:

Trường hợp 1:
\[ \sin x = 0 \]
Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Các giá trị \( x \) mà tại đó \( \sin x = 0 \) là:
\[ x = k \pi, \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \]

Trường hợp 2:
\[ 2 \cos x – \sin x = 0 \]
Để giải phương trình này, chúng ta có thể chuyển \( \sin x \) sang vế phải:
\[ 2 \cos x = \sin x \]
Bây giờ, chúng ta cần biến đổi phương trình này về dạng \( \tan x = \text{hằng số} \).
Để làm được điều đó, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho \( \cos x \).
Lưu ý quan trọng: Khi chia cho \( \cos x \), chúng ta cần xét xem \( \cos x \) có bằng 0 hay không.

Nếu \( \cos x = 0 \), thì từ phương trình \( 2 \cos x = \sin x \), ta sẽ có \( 2(0) = \sin x \Rightarrow \sin x = 0 \).
Tuy nhiên, không tồn tại giá trị \( x \) nào mà cả \( \sin x = 0 \) và \( \cos x = 0 \) đồng thời (vì \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)).
Do đó, \( \cos x \) không thể bằng 0 trong trường hợp này. Vì vậy, chúng ta có thể an toàn chia cả hai vế cho \( \cos x \).

Chia cả hai vế cho \( \cos x \) (với \( \cos x \neq 0 \)), ta được:
\[ \frac{2 \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \]
\[ 2 = \tan x \]
Hay:
\[ \tan x = 2 \]
Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Các giá trị \( x \) mà tại đó \( \tan x = 2 \) là:
\[ x = \arctan(2) + k \pi, \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \]
Ở đây, \( \arctan(2) \) là một góc mà tan của nó bằng 2. Chúng ta có thể đặt \( \alpha = \arctan(2) \) để viết gọn hơn nếu muốn.

Bước 4: Tổng hợp nghiệm
Vậy, phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

1. \( x = k \pi, \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \)
2. \( x = \arctan(2) + k \pi, \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \( S = \{ k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \arctan(2) + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \).

Hy vọng phần hướng dẫn chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!