Chào các em, cô rất vui được cùng các em giải một bài toán so sánh phân số rất thú vị. Dạng toán này thoạt nhìn có vẻ phức tạp vì số mũ rất lớn, nhưng nếu chúng ta bình tĩnh áp dụng đúng phương pháp đã học thì bài toán sẽ trở nên rất đơn giản.

Chúng ta có hai biểu thức:
A = \(\frac{10^{2024} + 1}{10^{2025} + 1}\) và B = \(\frac{10^{2025} + 1}{10^{2026} + 1}\)

Để so sánh hai phân số này, việc quy đồng mẫu số là không khả thi. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp quen thuộc là “phần hơn” hoặc nhân với một số thích hợp để làm xuất hiện phần nguyên. Ở bài này, cô sẽ hướng dẫn các em cách nhân với 10 nhé.

Bước 1: Biến đổi biểu thức A

Ta nhân cả hai vế của A với 10:
\[10A = 10 \cdot \frac{10^{2024} + 1}{10^{2025} + 1}\]
\[10A = \frac{10 \cdot (10^{2024} + 1)}{10^{2025} + 1}\]
\[10A = \frac{10 \cdot 10^{2024} + 10 \cdot 1}{10^{2025} + 1}\]
\[10A = \frac{10^{2025} + 10}{10^{2025} + 1}\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tách tử số để làm xuất hiện mẫu số trên đó. Các em chú ý nhé:
\[10A = \frac{(10^{2025} + 1) + 9}{10^{2025} + 1}\]
Tách thành hai phân số:
\[10A = \frac{10^{2025} + 1}{10^{2025} + 1} + \frac{9}{10^{2025} + 1}\]
\[10A = 1 + \frac{9}{10^{2025} + 1}\]

Bước 2: Biến đổi biểu thức B

Tương tự như với A, ta cũng nhân B với 10:
\[10B = 10 \cdot \frac{10^{2025} + 1}{10^{2026} + 1}\]
\[10B = \frac{10 \cdot (10^{2025} + 1)}{10^{2026} + 1}\]
\[10B = \frac{10^{2026} + 10}{10^{2026} + 1}\]

Ta cũng tách tử số của 10B giống như đã làm với 10A:
\[10B = \frac{(10^{2026} + 1) + 9}{10^{2026} + 1}\]
\[10B = \frac{10^{2026} + 1}{10^{2026} + 1} + \frac{9}{10^{2026} + 1}\]
\[10B = 1 + \frac{9}{10^{2026} + 1}\]

Bước 3: So sánh 10A và 10B

Sau khi biến đổi, ta có:
10A = \(1 + \frac{9}{10^{2025} + 1}\)
10B = \(1 + \frac{9}{10^{2026} + 1}\)

Để so sánh 10A và 10B, chúng ta chỉ cần so sánh hai “phần lẻ” phía sau số 1, đó là:
\(\frac{9}{10^{2025} + 1}\) và \(\frac{9}{10^{2026} + 1}\)

Đây là hai phân số có cùng tử số là 9. Theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó sẽ lớn hơn.

Vậy, chúng ta hãy so sánh hai mẫu số: \(10^{2025} + 1\) và \(10^{2026} + 1\).
Vì \(2025 < 2026\) nên \(10^{2025} < 10^{2026}\).
Do đó: \(10^{2025} + 1 < 10^{2026} + 1\). Mẫu số của phân số thứ nhất nhỏ hơn mẫu số của phân số thứ hai, nên: \[\frac{9}{10^{2025} + 1} > \frac{9}{10^{2026} + 1}\]
Từ đó, ta suy ra:
\[1 + \frac{9}{10^{2025} + 1} > 1 + \frac{9}{10^{2026} + 1}\]
Điều này có nghĩa là:
\[10A > 10B\]

Bước 4: Kết luận

Vì \(10A > 10B\), và 10 là một số dương, nên khi chia cả hai vế cho 10, dấu bất đẳng thức không đổi.
\[A > B\]

Kết luận cuối cùng: Vậy \(A > B\).

Các em thấy không, bằng cách biến đổi một chút, bài toán trông phức tạp lại trở nên rất đơn giản phải không nào? Chìa khóa ở đây là nhận ra dạng toán và áp dụng phương pháp nhân với một số thích hợp để đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số. Chúc các em học tốt