Hôm nay, cô (hoặc thầy) sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Lượng giác lớp 10. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các giá trị \( \sin x \), \( \tan x \), \( \cot x \) khi biết \( \cos x \) và khoảng của góc \( x \). Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Chúng ta đã được cho giá trị của \( \cos x = \frac{1}{4} \). Bây giờ, chúng ta sẽ đi tính \( \sin x \), \( \tan x \), và \( \cot x \).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \( \sin x \)
Chúng ta biết công thức lượng giác cơ bản trong vòng tròn lượng giác:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Thay giá trị \( \cos x = \frac{1}{4} \) đã cho vào công thức, ta có:
\[ \sin^2 x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 x + \frac{1}{16} = 1 \]
Chuyển \( \frac{1}{16} \) sang vế phải:
\[ \sin^2 x = 1 – \frac{1}{16} \]
Quy đồng mẫu số và thực hiện phép trừ:
\[ \sin^2 x = \frac{16}{16} – \frac{1}{16} \]
\[ \sin^2 x = \frac{15}{16} \]
Lấy căn bậc hai hai vế để tìm \( \sin x \):
\[ \sin x = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} \]
\[ \sin x = \pm\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}} \]
\[ \sin x = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} \]
Đề bài cho biết \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \). Đây là góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư thứ nhất, tất cả các giá trị lượng giác (sin, cos, tan, cot) đều dương.
Do đó, \( \sin x \) phải mang giá trị dương.
Vậy, \( \sin x = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Bước 2: Tính \( \tan x \)
Chúng ta sử dụng định nghĩa của tang, là tỉ số giữa \( \sin x \) và \( \cos x \):
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Thay các giá trị \( \sin x = \frac{\sqrt{15}}{4} \) và \( \cos x = \frac{1}{4} \) đã biết vào công thức:
\[ \tan x = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} \]
Để chia hai phân số, ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[ \tan x = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{4}{1} \]
Thực hiện phép nhân:
\[ \tan x = \sqrt{15} \]

Bước 3: Tính \( \cot x \)
Chúng ta sử dụng định nghĩa của cotang, là nghịch đảo của tang (hoặc tỉ số giữa \( \cos x \) và \( \sin x \)):
\[ \cot x = \frac{1}{\tan x} \]
Thay giá trị \( \tan x = \sqrt{15} \) đã tính được vào công thức:
\[ \cot x = \frac{1}{\sqrt{15}} \]
Để biểu thức không có căn ở mẫu, ta thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{15} \):
\[ \cot x = \frac{1 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} \]
\[ \cot x = \frac{\sqrt{15}}{15} \]

Kết luận:
Vậy, với \( \cos x = \frac{1}{4} \) và \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \), ta có các giá trị lượng giác:

• \( \cos x = \frac{1}{4} \) (giá trị đã cho)
• \( \sin x = \frac{\sqrt{15}}{4} \)
• \( \tan x = \sqrt{15} \)
• \( \cot x = \frac{\sqrt{15}}{15} \)

Hy vọng bài giải này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách tính các giá trị lượng giác. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô (hoặc thầy) nhé! Chúc các em học tốt!