Xin chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, cô giáo sẽ cùng các em chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến biểu thức đại số. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng khéo léo các hằng đẳng thức quen thuộc mà chúng ta đã học.

Đề bài cho chúng ta hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện:
x³ + y³ = 3xy – 1

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:
A = x²⁰¹⁹ + y²⁰²⁰

Các em hãy chú ý quan sát cách cô giáo phân tích và giải bài toán này nhé!

Bước 1: Biến đổi điều kiện đã cho

Chúng ta có biểu thức x³ + y³. Các em còn nhớ hằng đẳng thức nào liên quan đến tổng hai lập phương không nào? Đúng rồi, đó là:
\(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 – xy + y^2)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi phương trình đã cho:
x³ + y³ = 3xy – 1

Chuyển vế các hạng tử để đưa về một vế:
x³ + y³ – 3xy + 1 = 0

Các em thấy có quen thuộc không? Nếu để ý kỹ một chút, chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để sử dụng một hằng đẳng thức khác, đó là hằng đẳng thức về lập phương của một tổng:
\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
hoặc
\( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Tuy nhiên, ở đây chúng ta có “+1” và “-3xy”, hơi khác một chút. Chúng ta thử nhóm như sau:
(x³ + 1) + y³ – 3xy = 0

Để ý thấy “+1” có thể coi là 1³. Vậy ta có (x³ + 1³).
Chúng ta có thể thử một cách biến đổi khác thông qua hằng đẳng thức:
\( (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
\( (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) \)

Bây giờ, quay lại với phương trình ban đầu:
x³ + y³ = 3xy – 1

Chuyển vế:
x³ + y³ + 1 – 3xy = 0

Các em hãy thử nhớ lại một hằng đẳng thức mở rộng hoặc một công thức quen thuộc mà nó có dạng như thế này. À, có một hằng đẳng thức rất đặc biệt:
Nếu \(a + b + c = 0\) thì \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).

Chúng ta thử xem liệu có thể đưa về dạng này không.
Nếu ta coi x = a, y = b, và c = -1.
Khi đó, \(a + b + c = x + y + (-1) = x + y – 1\).
Và \(a^3 + b^3 + c^3 = x^3 + y^3 + (-1)^3 = x^3 + y^3 – 1\).
Và \(3abc = 3xy(-1) = -3xy\).

Vậy, nếu \(x + y – 1 = 0\), thì \(x^3 + y^3 – 1 = -3xy\), hay \(x^3 + y^3 = -3xy + 1\).
Điều này KHÔNG khớp với đề bài cho là \(x^3 + y^3 = 3xy – 1\).

Chúng ta thử lại cách nhóm hạng tử ban đầu và sử dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương:
Ta có: x³ + y³ + 1 – 3xy = 0.

Nếu ta coi a = x, b = y, c = 1.
Thì \(a^3 + b^3 + c^3 = x^3 + y^3 + 1^3 = x^3 + y^3 + 1\).
Và \(3abc = 3xy(1) = 3xy\).

Vậy, phương trình của chúng ta là:
\(x^3 + y^3 + 1 – 3xy = 0\)

Nếu ta có một biểu thức \(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\), thì nó sẽ bằng:
\(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

Hãy thử áp dụng với a = x, b = y, c = 1.
Ta có:
\(x^3 + y^3 + 1^3 – 3xy(1) = (x+y+1)(x^2+y^2+1^2 – xy – y(1) – 1(x))\)
\(x^3 + y^3 + 1 – 3xy = (x+y+1)(x^2+y^2+1 – xy – y – x)\)

Vậy, từ phương trình \(x^3 + y^3 + 1 – 3xy = 0\), ta có:
\( (x+y+1)(x^2+y^2+1 – xy – y – x) = 0 \)

Điều này có nghĩa là:
Hoặc \( x+y+1 = 0 \)
Hoặc \( x^2+y^2+1 – xy – y – x = 0 \)

Chúng ta hãy xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: x + y + 1 = 0

Theo đề bài, x và y là hai số dương.
Nếu x > 0 và y > 0, thì x + y > 0.
Do đó, x + y + 1 > 0 + 1 = 1.
Vậy x + y + 1 không thể bằng 0. Trường hợp này bị loại.

Trường hợp 2: x² + y² + 1 – xy – y – x = 0

Chúng ta hãy biến đổi biểu thức này để xem nó có thể cho ta thông tin gì. Nhân cả hai vế với 2:
\( 2(x^2+y^2+1 – xy – y – x) = 2 \times 0 \)
\( 2x^2 + 2y^2 + 2 – 2xy – 2y – 2x = 0 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương của hiệu:
\( (x^2 – 2xy + y^2) + (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) = 0 \)

Các em còn nhớ hằng đẳng thức bình phương của một hiệu không?
\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

Áp dụng vào các nhóm hạng tử ta vừa tạo:
\( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)
\( (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1 \)
\( (y-1)^2 = y^2 – 2y + 1 \)

Vậy, phương trình trở thành:
\( (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 0 \)

Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
Tức là:
\( (x-y)^2 \ge 0 \)
\( (x-1)^2 \ge 0 \)
\( (y-1)^2 \ge 0 \)

Tổng của ba số không âm chỉ bằng 0 khi và chỉ khi cả ba số đó đều bằng 0.
Do đó, chúng ta phải có:
\( x-y = 0 \Rightarrow x = y \)
\( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
\( y-1 = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Từ đây, chúng ta suy ra được x = 1 và y = 1.

Bước 2: Kiểm tra lại với điều kiện ban đầu

Chúng ta hãy thay x=1, y=1 vào biểu thức ban đầu \(x^3 + y^3 = 3xy – 1\) để kiểm tra:
Vế trái: \(1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2\)
Vế phải: \(3(1)(1) – 1 = 3 – 1 = 2\)
Vế trái bằng vế phải, vậy x=1, y=1 là nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức A

Bây giờ chúng ta cần tính giá trị của biểu thức A = x²⁰¹⁹ + y²⁰²⁰.
Với x = 1 và y = 1, ta có:
A = 1²⁰¹⁹ + 1²⁰²⁰

Chúng ta biết rằng bất kỳ số mũ nào của 1 đều bằng 1.
Vậy:
1²⁰¹⁹ = 1
1²⁰²⁰ = 1

Do đó:
A = 1 + 1 = 2

Kết luận:

Vậy giá trị của biểu thức A = x²⁰¹⁹ + y²⁰²⁰ là 2.

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức và biết cách vận dụng linh hoạt chúng là rất quan trọng. Chúng ta đã sử dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương và biến đổi biểu thức về tổng các bình phương.

Các em có thể xem lại các bước giải và ghi chép lại bài làm để ôn tập nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô giáo. Chúc các em học tốt!