Chào em, cô đã nhận được câu hỏi của em. Đây là một dạng bài tập về phân số rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 6. Em đừng lo lắng, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài này thật chi tiết, từng bước một để em có thể hiểu rõ và tự làm được các bài tương tự nhé.

Bài giải

a) Tìm số nguyên n để biểu thức A có giá trị là một số nguyên.

Để phân số \(A = \frac{n-5}{n+1}\) có giá trị là một số nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Tức là: \( (n-5) \) chia hết cho \( (n+1) \).

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi một chút ở tử số để làm xuất hiện mẫu số, như vậy sẽ dễ xử lý hơn. Em chú ý nhé:

Ta có: \( n-5 = n + 1 – 6 = (n+1) – 6 \).

Vì vậy, yêu cầu \( (n-5) \) chia hết cho \( (n+1) \) trở thành:

\( (n+1) – 6 \) chia hết cho \( (n+1) \).

Chúng ta biết rằng \( (n+1) \) thì luôn luôn chia hết cho chính nó là \( (n+1) \).

Do đó, để cả biểu thức \( (n+1) – 6 \) chia hết cho \( (n+1) \), thì số còn lại là 6 cũng phải chia hết cho \( (n+1) \).

Suy ra: \( (n+1) \) phải là một ước của 6.

Tập hợp các ước nguyên của 6 là: \(Ư(6) = \{1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6\}\).

Bây giờ, ta chỉ cần lập bảng để tìm n là xong:

n + 1	1	-1	2	-2	3	-3	6	-6
n	0	-2	1	-3	2	-4	5	-7

Các giá trị của n đều là số nguyên, nên chúng ta nhận hết.

Vậy, để A là số nguyên thì \(n \in \{0; -2; 1; -3; 2; -4; 5; -7\}\).

b) Tìm số nguyên n để A là phân số tối giản.

Một phân số được gọi là tối giản khi tử số và mẫu số của nó có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.

Nghĩa là, ta cần tìm n sao cho \(ƯCLN(n-5, n+1) = 1\).

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(n-5\) và \(n+1\).

Theo định nghĩa, ta có:

\( (n-5) \) chia hết cho \(d\)

\( (n+1) \) chia hết cho \(d\)

Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta có:

\( [(n+1) – (n-5)] \) chia hết cho \(d\).

\( (n+1 – n + 5) \) chia hết cho \(d\).

\( 6 \) chia hết cho \(d\).

Như vậy, ước chung lớn nhất của tử và mẫu (\(d\)) phải là một ước của 6. Các ước nguyên dương của 6 là \( \{1; 2; 3; 6\} \).

Để phân số A là phân số tối giản thì \(d\) phải bằng 1. Điều này có nghĩa là \(d\) không thể bằng 2, 3, hoặc 6.

Tức là, \(n-5\) và \(n+1\) không được cùng chia hết cho 2, và cũng không được cùng chia hết cho 3.

* Xét trường hợp 1: \(d\) khác 2

Để \(d \neq 2\) thì \(n-5\) và \(n+1\) không cùng chia hết cho 2.

Nếu \(n+1\) chia hết cho 2 (tức là \(n+1\) là số chẵn) thì \(n\) là số lẻ. Khi đó \(n-5\) (lẻ – lẻ) cũng là số chẵn. Như vậy cả tử và mẫu đều chia hết cho 2.

Vậy để phân số tối giản, \(n+1\) không được chia hết cho 2.

\(n+1\) không chia hết cho 2 \(\Rightarrow\) \(n+1\) là số lẻ \(\Rightarrow\) \(n\) là số chẵn.

* Xét trường hợp 2: \(d\) khác 3

Để \(d \neq 3\) thì \(n-5\) và \(n+1\) không cùng chia hết cho 3.

Nếu \(n+1\) chia hết cho 3, ta viết \(n+1 = 3k\) (với k là số nguyên).

\(\Rightarrow n = 3k – 1\).

Khi đó, tử số là \(n-5 = (3k – 1) – 5 = 3k – 6 = 3(k-2)\), cũng chia hết cho 3.

Vậy để phân số tối giản, \(n+1\) không được chia hết cho 3.

\(n+1\) không chia hết cho 3 \(\Rightarrow n+1 \neq 3k \Rightarrow n \neq 3k-1\).

Kết luận:
Để A là phân số tối giản, ta cần kết hợp cả hai điều kiện trên:

1. \(n\) là số chẵn.

2. \(n \neq 3k-1\) với \(k \in Z\). (Hoặc có thể viết: \(n+1\) không chia hết cho 3).

Hi vọng với lời giải chi tiết này, em đã hiểu bài. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé. Chúc em học tốt