cho tam giác ABC ( AB bé hơn AC ) . Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ 1 đường vuông…
a, chứng minh tam giác AMN cân
b, từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt MN tại E , chứng minh tam giác MEB cân
c, chứng minh BM = CN
giúp mình với
Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết từng phần một nhé!
Đầu tiên, để dễ hình dung, các em hãy vẽ hình theo mô tả của đề bài. Đây là một bước rất quan trọng để chúng ta có thể “nhìn thấy” được các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Giải bài tập:
a, Chứng minh tam giác AMN cân.
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, chúng ta có hai cách chính ở lớp 7:
1. Chứng minh hai cạnh bên bằng nhau.
2. Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.
Trong bài toán này, việc sử dụng tính chất đường phân giác kết hợp với đường vuông góc sẽ dẫn chúng ta đến cách thứ nhất một cách tự nhiên.
Các bước chứng minh:
1. Gọi Ax là tia phân giác của \(\angle BAC\). Theo giả thiết, đường thẳng đi qua D và vuông góc với tia Ax cắt AB tại M và AC tại N.
2. Gọi K là giao điểm của tia Ax và đường thẳng MN.
3. Xét \(\triangle AKM\) và \(\triangle AKN\).
- Ta có AK là tia phân giác của \(\angle BAC\) (hay \(\angle MAN\)), nên \(\angle MAK = \angle NAK\) (tính chất tia phân giác).
- AK là cạnh chung của hai tam giác.
- Theo giả thiết, đường thẳng MN vuông góc với tia phân giác Ax tại K. Do đó, \(\angle AKM = \angle AKN = 90^\circ\).
Vậy, \(\triangle AKM = \triangle AKN\) (theo trường hợp góc – cạnh – góc: g.c.g).
4. Từ sự bằng nhau của hai tam giác \(\triangle AKM\) và \(\triangle AKN\), suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Cụ thể, ta có: AM = AN.
5. Vì tam giác AMN có hai cạnh AM và AN bằng nhau, nên \(\triangle AMN\) là tam giác cân tại A.
(Điều phải chứng minh)
b, Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt MN tại E, chứng minh tam giác MEB cân.
Tương tự như câu a, để chứng minh \(\triangle MEB\) cân, chúng ta cần chứng minh hai cạnh của nó bằng nhau (MB = ME) hoặc hai góc ở đáy bằng nhau. Với thông tin về đường song song và tam giác cân AMN từ câu a, chúng ta sẽ hướng đến việc chứng minh hai góc bằng nhau.
Các bước chứng minh:
1. Theo chứng minh ở câu a, ta có \(\triangle AMN\) là tam giác cân tại A.
Suy ra \(\angle AMN = \angle ANM\) (hai góc ở đáy của tam giác cân).
2. Theo giả thiết, ta có BE // AC.
Xét đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song BE và AC. Khi đó, ta có:
\(\angle MEB = \angle ANM\) (hai góc so le trong).
3. Mà \(\angle AMN\) chính là \(\angle EMB\) (hai góc này trùng nhau, chỉ khác cách gọi tên tùy theo tam giác xét).
Từ (1) và (2), suy ra: \(\angle MEB = \angle AMN\).
Hay \(\angle MEB = \angle EMB\).
4. Xét \(\triangle MEB\) có hai góc \(\angle MEB\) và \(\angle EMB\) bằng nhau.
Vậy, \(\triangle MEB\) là tam giác cân tại B (tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì là tam giác cân).
(Điều phải chứng minh)
c, Chứng minh BM = CN.
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, chúng ta thường tìm cách ghép chúng vào hai tam giác bằng nhau. Ở đây, chúng ta có thông tin D là trung điểm của BC, và các đường thẳng song song. Đây là những dấu hiệu rất tốt để tìm ra các cặp tam giác bằng nhau.
Các bước chứng minh:
1. Ở câu b, chúng ta đã chứng minh được \(\triangle MEB\) cân tại B, suy ra BM = ME. (Đây là một mối liên hệ quan trọng!)
2. Bây giờ, chúng ta cần chứng minh ME = CN hoặc BM = CN trực tiếp. Chúng ta sẽ tìm cách chứng minh \(\triangle BDE = \triangle CDN\).
3. Xét \(\triangle BDE\) và \(\triangle CDN\):
- D là trung điểm của BC (theo giả thiết), nên BD = CD.
- Vì BE // AC (theo giả thiết), và BC là cát tuyến, ta có:
\(\angle DBE = \angle DCN\) (hai góc so le trong). - \(\angle BDE\) và \(\angle CDN\) là hai góc đối đỉnh (do MN là đường thẳng cắt BC tại D).
Vậy, \(\angle BDE = \angle CDN\).
Từ ba điều trên, ta kết luận \(\triangle BDE = \triangle CDN\) (theo trường hợp góc – cạnh – góc: g.c.g).
4. Vì \(\triangle BDE = \triangle CDN\), các cặp cạnh tương ứng của chúng phải bằng nhau. Cụ thể, ta có: BE = CN.
5. Ở bước 1, chúng ta có BM = ME.
Ở bước 4, chúng ta có ME = BE. (Vì E nằm trên MN, nên ME và BE là cùng một đoạn thẳng khi xét \(\triangle BDE\))
À, xin lỗi, ở bước 1, BM = ME là từ \(\triangle MEB\) cân. Ở bước 4 là BE = CN.
Như vậy, chúng ta có BM = ME và ME = BE (đoạn thẳng).
Và chúng ta có BE = CN.
Từ đó, suy ra BM = CN.
(Điều phải chứng minh)
Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng phần, áp dụng đúng các kiến thức đã học và trình bày logic từng bước, thì mọi thứ đều trở nên rõ ràng. Điều quan trọng là các em phải nắm vững định nghĩa, tính chất của các hình (tam giác cân, tia phân giác, đường thẳng song song, góc so le trong, góc đối đỉnh) và các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Hãy tự vẽ lại hình, viết lại lời giải và cố gắng hiểu thật sâu các bước đi nhé! Chúc các em học tốt môn Toán!
\(a.\)
Gọi giao điểm của \(DM\) và tia phân giác của \(\hat{BAC}\) là \(F\)
Xét \(\triangleAFM\) và \(\triangleAFN\) có:
\(\hat{MAF} = \hat{NAF}\) (do \(AF\) là tia phân giác của \(\hat{BAC}\))
\(AF\) chung
\(\hat{AFM} = \hat{AFN} = 90^@\) (do \(DM bot AF\))
\(=> \triangleAFM = \triangleAFN\) \((g. c. g)\)
\(=> AM = AN\)
\(=> \triangleAMN\) cân tại \(A\)
\(b.\)
Ta có: \(\triangleAMN\) cân tại \(A\) \((cmt)\)
\(=> \hat{BME} = \hat{ANM}\) \((1)\)
Ta có: \(BE////AC\) (gt)
\(=> \hat{BEM} = \hat{ANM}\) (\(2\) góc đồng vị) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\hat{BME} = \hat{BEM}\)
\(=> \triangleMEB\) cân tại \(B\)
\(c.\)
Xét \(\triangleDBE\) và \(\triangleDCN\) có:
\(\hat{EBD} = \hat{DCN}\) \((BE////AC, 2\) góc so le trong\()\)
\(BD = DC\) (do \(D\) là trung điểm \(BC\))
\(\hat{BDE} = \hat{CDN}\) (đối đỉnh)
\(=> \triangleDBE = \triangleDCN\) \((g. c. g)\)
\(=> BE = CN\)
Mà \(BE = BM\) (do \(\triangleMEB\) cân tại \(B\))
\(=> BM = CN\)