Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui khi được đồng hành cùng các em trong việc ôn tập và giải các bài toán về vectơ. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết một bài tập cơ bản nhưng rất quan trọng về vectơ trong không gian, thường gặp trong chương trình Toán lớp 11 nhé!

Đề bài yêu cầu: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của BC và AD. Đặt \( \vec{AB} = \vec{b} \), \( \vec{AC} = \vec{c} \), \( \vec{AD} = \vec{d} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} + \vec{b} – \vec{c}) \)

B. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} – \vec{b} – \vec{c}) \)

C. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} + \vec{b}) \)

D. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{b} – \vec{d}) \)

Phân tích yêu cầu bài toán:

Bài toán yêu cầu chúng ta biểu diễn vectơ \( \vec{MP} \) thông qua ba vectơ \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) đã cho, với M và P là các trung điểm. Đây là dạng bài tập cơ bản về phép cộng, trừ vectơ và quy tắc trung điểm.

Kiến thức cần nhớ:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức cơ bản về vectơ đã học ở lớp 10 và lớp 11:

1. Quy tắc ba điểm (quy tắc Chasles): Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]

Từ đó suy ra: \( \vec{BC} = \vec{AC} – \vec{AB} \). Quy tắc này cho phép chúng ta biến đổi một vectơ thành hiệu của hai vectơ có chung gốc.

2. Quy tắc trung điểm:

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì với mọi điểm O bất kỳ trong không gian, ta có:

\[ \vec{OI} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB}) \]

b) Đặc biệt, nếu gốc O trùng với A, ta có:

\[ \vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AB} \]

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Biểu diễn vectơ \( \vec{MP} \) qua hai vectơ có chung gốc.

Chúng ta có thể chọn một điểm bất kỳ làm gốc để biểu diễn vectơ \( \vec{MP} \). Trong bài toán này, điểm A là một điểm thuận lợi vì các vectơ \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) đều có gốc là A.

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\[ \vec{MP} = \vec{AP} – \vec{AM} \]

Bước 2: Biểu diễn vectơ \( \vec{AP} \) theo các vectơ đã cho.

Theo đề bài, P là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Áp dụng công thức trung điểm (dạng b) với gốc là A, ta có:

\[ \vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AD} \]

Mà đề bài cho \( \vec{AD} = \vec{d} \).

Vậy:

\[ \vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{d} \]

Bước 3: Biểu diễn vectơ \( \vec{AM} \) theo các vectơ đã cho.

Theo đề bài, M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Áp dụng công thức trung điểm (dạng a) với gốc là A, ta có:

\[ \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) \]

Mà đề bài cho \( \vec{AB} = \vec{b} \) và \( \vec{AC} = \vec{c} \).

Vậy:

\[ \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) \]

Bước 4: Thay các biểu thức đã tìm được vào công thức ở Bước 1.

Chúng ta có:

\[ \vec{MP} = \vec{AP} – \vec{AM} \]

Thay \( \vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{d} \) và \( \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) \) vào, ta được:

\[ \vec{MP} = \frac{1}{2} \vec{d} – \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) \]

Tiếp tục rút gọn biểu thức:

\[ \vec{MP} = \frac{1}{2} \vec{d} – \frac{1}{2} \vec{b} – \frac{1}{2} \vec{c} \]

Đặt \( \frac{1}{2} \) làm nhân tử chung:

\[ \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} – \vec{b} – \vec{c}) \]

Bước 5: So sánh kết quả với các đáp án.

Sau khi tính toán, chúng ta có \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} – \vec{b} – \vec{c}) \).

Đối chiếu với các đáp án:

A. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} + \vec{b} – \vec{c}) \) (Không đúng)

B. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{d} – \vec{b} – \vec{c}) \) (Đúng)

C. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} + \vec{b}) \) (Không đúng)

D. \( \vec{MP} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{b} – \vec{d}) \) (Không đúng)

Vậy, khẳng định đúng là đáp án B.

Lời kết:

Qua bài tập này, các em đã được củng cố lại cách biểu diễn vectơ thông qua các điểm trung điểm và sử dụng linh hoạt quy tắc ba điểm. Hãy luôn nhớ rằng việc chọn một gốc chung để biểu diễn các vectơ là một phương pháp rất hiệu quả để giải các bài toán về vectơ. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé! Chúc các em học tốt!