Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán chứng minh rất thú vị, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về số vô tỷ. Đây là một dạng bài nâng cao một chút nhưng không hề khó nếu các em nắm vững kiến thức và làm theo từng bước cô hướng dẫn nhé.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hay trong toán học, đó là phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Tức là, chúng ta sẽ giả sử điều ngược lại với điều cần chứng minh là đúng, sau đó đi tìm một sự mâu thuẫn. Nếu có mâu thuẫn xảy ra, chứng tỏ điều ta giả sử là sai, và điều ban đầu là đúng.

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc lại kiến thức cũ nhé:
– Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \( \frac{a}{b} \) với \( a, b \) là các số nguyên và \( b \neq 0 \).
– Số vô tỷ là số không thể viết được dưới dạng phân số như trên.
– Trong chương trình Toán 7, chúng ta đã được học và công nhận rằng \( \sqrt{2} \) và \( \sqrt{3} \) là các số vô tỷ.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu bài giải nào!

Bước 1: Đặt giả sử phản chứng
Giả sử \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) là một số hữu tỉ.

Bước 2: Biến đổi biểu thức
Vì \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) là số hữu tỉ, ta có thể đặt:
\[ \sqrt{2} + \sqrt{3} = a \]
trong đó \( a \) là một số hữu tỉ bất kỳ.

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển vế để cô lập một trong hai căn thức:
\[ \sqrt{3} = a – \sqrt{2} \]

Tiếp theo, để làm mất dấu căn, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình:
\[ (\sqrt{3})^2 = (a – \sqrt{2})^2 \]

Áp dụng hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu” \( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \) mà các em đã quen thuộc, ta có:
\[ 3 = a^2 – 2a\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \]
\[ 3 = a^2 – 2a\sqrt{2} + 2 \]

Bước 3: Tìm ra mâu thuẫn
Từ biểu thức trên, chúng ta sẽ biến đổi để biểu diễn \( \sqrt{2} \) theo số hữu tỉ \( a \):
\[ 2a\sqrt{2} = a^2 + 2 – 3 \]
\[ 2a\sqrt{2} = a^2 – 1 \]

Vì \( \sqrt{2} + \sqrt{3} > 0 \) nên \( a > 0 \), do đó ta có thể chia cả hai vế cho \( 2a \):
\[ \sqrt{2} = \frac{a^2 – 1}{2a} \]

Bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích kết quả này nhé:
– Vế trái của phương trình là \( \sqrt{2} \). Như chúng ta đã biết, \( \sqrt{2} \) là một số vô tỷ.
– Vế phải của phương trình là \( \frac{a^2 – 1}{2a} \). Ta xét:
– Vì \( a \) là số hữu tỉ, nên \( a^2 \) cũng là số hữu tỉ (tích hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ).
– \( a^2 – 1 \) là số hữu tỉ (hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ).
– \( 2a \) cũng là số hữu tỉ.
– Vậy, thương của hai số hữu tỉ \( a^2 – 1 \) và \( 2a \) là một số hữu tỉ.

Như vậy, ta có:
Vế trái (số vô tỷ) = Vế phải (số hữu tỉ).
Đây là một điều VÔ LÝ và không thể xảy ra!

Bước 4: Kết luận
Điều vô lý này xảy ra là do giả sử ban đầu của chúng ta là sai.
Vậy, giả sử “\( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) là một số hữu tỉ” là sai.
Do đó, chúng ta kết luận rằng: \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) là một số vô tỷ. (Điều phải chứng minh).

Bài toán đến đây là kết thúc rồi. Các em thấy không, bằng cách lập luận logic từng bước, chúng ta đã giải quyết được một bài toán tưởng chừng như rất khó. Chúc các em học tốt nhé