chứng minh đẳng thức (2x-y)(4x^2+2xy+y^2)-(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)=-2y^3
Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta sẽ biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) để cho ra kết quả bằng vế còn lại. Ở đây, chúng ta sẽ biến đổi vế trái (VT).
Bước 1: Phân tích vế trái của đẳng thức
Vế trái (VT) của chúng ta là: \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)-(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)\)
Các em hãy quan sát kỹ, vế trái này gồm hai cụm biểu thức rất quen thuộc, có dạng của các Hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.
Bước 2: Ôn lại các hằng đẳng thức liên quan
Chúng ta cần nhớ lại hai hằng đẳng thức sau:
1. Hiệu hai lập phương:
\[A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)\]
2. Tổng hai lập phương:
\[A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)\]
Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức vào từng cụm của vế trái
– Xét cụm thứ nhất: \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
Ta thấy cụm này có dạng hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương” với:
- \(A = 2x\)
- \(B = y\)
Kiểm tra lại: \(A^2 = (2x)^2 = 4x^2\), \(AB = (2x)(y) = 2xy\), \(B^2 = y^2\). Hoàn toàn chính xác!
Vậy, ta có: \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2) = (2x)^3 – y^3 = 8x^3 – y^3\).
– Xét cụm thứ hai: \((2x+y)(4x^2-2xy+y^2)\)
Cụm này lại có dạng hằng đẳng thức “Tổng hai lập phương” với:
- \(A = 2x\)
- \(B = y\)
Kiểm tra lại: \(A^2 = (2x)^2 = 4x^2\), \(AB = (2x)(y) = 2xy\), \(B^2 = y^2\). Chính xác!
Vậy, ta có: \((2x+y)(4x^2-2xy+y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3\).
Bước 4: Thay kết quả vừa tìm được vào vế trái và rút gọn
Bây giờ, chúng ta thay các kết quả đã rút gọn ở Bước 3 vào biểu thức vế trái ban đầu:
VT = \((8x^3 – y^3) – (8x^3 + y^3)\)
Các em hãy cẩn thận khi phá dấu ngoặc có dấu trừ ở đằng trước nhé. Chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.
VT = \(8x^3 – y^3 – 8x^3 – y^3\)
Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:
VT = \((8x^3 – 8x^3) + (-y^3 – y^3)\)
VT = \(0 – 2y^3\)
VT = \(-2y^3\)
Bước 5: Kết luận
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng \(-2y^3\), đúng bằng vế phải (VP).
Vậy, đẳng thức \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)-(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)=-2y^3\) đã được chứng minh.
Chúc các em học tốt!
\(\color{red}{\text{#Lpw}}\)
Đáp án\(+\)Giải thích các bước giải:
\((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)-(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)\)
\(=2x^3-y^3-(2x^3+y^3)\)
\(=2x^3-y^3-2x^3-y^3\)
\(=(2x^3-2x^3)+(-y^3-y^3)\)
\(=0+(-2y^3)\)
\(=-2y^3(\)Đpcm\()\)
\(ttcolor{skyblue}{#ThAn}\)
\((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)-(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)\)
\(= (2x-y)[(2x)^2+2xy+y^2]-(2x+y)[(2x)^2-2xy+y^2]\)
\(= (2x)^3-y^3-(2x)^3-y^3\)
\(= -y^3-y^3\)
\(=-2y^3\)
\(———\)
\(@\) HDT:
\(+ a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(+ a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)\)