Đạo hàm của hàm y= lnx/x2 là
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về đạo hàm liên quan đến hàm số logarit và hàm phân thức. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là phần đạo hàm của các hàm số cơ bản. Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc và công thức đạo hàm đã học để tìm ra lời giải chính xác.
Chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số y = ln(x) / x^2.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào các bước giải chi tiết nhé:
Bước 1: Xác định dạng của hàm số và công thức áp dụng
Hàm số y = ln(x) / x^2 là một hàm số có dạng thương của hai hàm số. Cụ thể, ta có thể xem:
- Hàm số ở tử là u(x) = ln(x)
- Hàm số ở mẫu là v(x) = x^2
Để tính đạo hàm của một hàm số có dạng thương, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương. Quy tắc này phát biểu như sau:
Nếu y = u(x) / v(x), thì đạo hàm của y, ký hiệu là y’, sẽ là:
\[ y’ = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Đây là một công thức rất quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.
Bước 2: Tính đạo hàm của từng hàm số thành phần
Trước hết, chúng ta cần tính đạo hàm của u(x) = ln(x) và v(x) = x^2.
- Đạo hàm của u(x) = ln(x):
Theo công thức đạo hàm cơ bản, đạo hàm của ln(x) là 1/x.
\[ u'(x) = (\ln x)’ = \frac{1}{x} \] - Đạo hàm của v(x) = x^2:
Chúng ta áp dụng công thức đạo hàm của lũy thừa x^n, với n=2. Công thức là (x^n)’ = nx^(n-1).
\[ v'(x) = (x^2)’ = 2x^{2-1} = 2x \]
Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương
Bây giờ, chúng ta sẽ thay các biểu thức u(x), v(x), u'(x), và v'(x) vào công thức đạo hàm của thương đã nêu ở Bước 1.
Ta có:
- u(x) = ln(x)
- v(x) = x^2
- u'(x) = 1/x
- v'(x) = 2x
Vậy, đạo hàm y’ sẽ là:
\[ y’ = \frac{(\frac{1}{x})(x^2) – (\ln x)(2x)}{(x^2)^2} \]
Bước 4: Rút gọn biểu thức đạo hàm
Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính và rút gọn biểu thức để có được dạng cuối cùng của đạo hàm.
- Phần tử số:
- \( (\frac{1}{x})(x^2) = \frac{x^2}{x} = x \)
- \( (\ln x)(2x) = 2x \ln x \)
- Phần mẫu số:
- \( (x^2)^2 = x^{2 \times 2} = x^4 \)
Vậy, tử số là \( x – 2x \ln x \).
Vậy, mẫu số là \( x^4 \).
Ghép lại, ta có:
\[ y’ = \frac{x – 2x \ln x}{x^4} \]
Bây giờ, chúng ta có thể rút gọn thêm bằng cách chia cả tử và mẫu cho x (lưu ý rằng điều kiện xác định của hàm số ban đầu là x > 0, nên x khác 0).
\[ y’ = \frac{x(1 – 2 \ln x)}{x^4} \]
\[ y’ = \frac{1 – 2 \ln x}{x^3} \]
Vậy, đạo hàm của hàm số y = ln(x) / x^2 là \( \frac{1 – 2 \ln x}{x^3} \).
Chúc các em luôn học tốt môn Toán!
Đáp án:
\(y’ = \frac{{1 – 2\ln x}}{{{x^3}}}\)
Giải thích các bước giải:
\(y = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} = > y’ = \frac{{(\ln x)’.{x^2} – \ln x.({x^2})’}}{{{x^4}}} = \frac{{\frac{{{x^2}}}{x} – \ln x.2x}}{{{x^4}}} = \frac{{1 – 2\ln x}}{{{x^3}}}\)
\(y=\dfrac{\ln x}{x^2}\)
\(y’=(\dfrac{\ln x}{x^2})’\)
\(=\dfrac{(\ln x)’x^2-\ln x.(x^2)’}{x^4}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{x}.x^2-\ln x.2x}{x^4}\)
\(=\dfrac{x-2x\ln x}{x^4}\)
\(=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)