Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại phép chia đa thức cho đơn thức và đa thức cho đa thức. Bài tập hôm nay của chúng ta là một phép chia đa thức cho đa thức.

Chúng ta sẽ đặt phép tính và thực hiện từng bước một.

Bài tập: Đặt tính rồi tính (X^3-4x^2+5x-1) : (x-3)

Giải:

Để thực hiện phép chia này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia đa thức theo cột dọc, tương tự như cách chúng ta chia hai số tự nhiên.

Bước 1: Viết phép chia theo cột dọc.
Chúng ta viết đa thức bị chia (X^3-4x^2+5x-1) ở bên trái và đa thức chia (x-3) ở bên phải, ngăn cách bởi một gạch dọc. Phía trên, chúng ta sẽ ghi kết quả của phép chia.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
|
|

Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
Hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia là \(X^3\).
Hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia là \(x\).
Ta có: \(X^3 : x = X^{3-1} = X^2\).
Đây là hạng tử đầu tiên của thương. Ta viết \(X^2\) lên phía trên.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
| X^2

Bước 3: Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia.
Nhân \(X^2\) với \(x-3\):
\(X^2 (x-3) = X^2 x – X^2 * 3 = X^3 – 3X^2\).
Viết kết quả này xuống dưới đa thức bị chia, thẳng hàng với các hạng tử bậc tương ứng.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
X^3 – 3x^2 | X^2

Bước 4: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm được.
(X^3 – 4x^2 + 5x – 1) – (X^3 – 3x^2)
= X^3 – 4x^2 + 5x – 1 – X^3 + 3x^2
= (X^3 – X^3) + (-4x^2 + 3x^2) + 5x – 1
= 0x^3 – x^2 + 5x – 1
= -x^2 + 5x – 1.
Viết kết quả này xuống dưới, ta có phần dư tạm thời.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2
——————–|
-x^2 + 5x – 1

Bước 5: Tiếp tục thực hiện phép chia với phần dư vừa tìm được.
Coi \(-x^2 + 5x – 1\) là đa thức bị chia mới.
Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức mới (\(-x^2\)) cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia (\(x\)).
Ta có: \(-x^2 : x = -x^{2-1} = -x\).
Đây là hạng tử tiếp theo của thương. Ta viết \(-x\) lên phía trên.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x
——————–|
-x^2 + 5x – 1

Bước 6: Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia.
Nhân \(-x\) với \(x-3\):
\(-x (x-3) = -x x – (-x) * 3 = -x^2 + 3x\).
Viết kết quả này xuống dưới phần dư tạm thời, thẳng hàng với các hạng tử bậc tương ứng.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x
——————–|
-x^2 + 5x – 1
-x^2 + 3x

Bước 7: Lấy phần dư tạm thời trừ đi tích vừa tìm được.
(-x^2 + 5x – 1) – (-x^2 + 3x)
= -x^2 + 5x – 1 + x^2 – 3x
= (-x^2 + x^2) + (5x – 3x) – 1
= 0x^2 + 2x – 1
= 2x – 1.
Viết kết quả này xuống dưới.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x
——————–|
-x^2 + 5x – 1
-(-x^2 + 3x)
—————-
2x – 1

Bước 8: Tiếp tục thực hiện phép chia với phần dư mới.
Coi \(2x – 1\) là đa thức bị chia mới.
Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức mới (\(2x\)) cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia (\(x\)).
Ta có: \(2x : x = 2\).
Đây là hạng tử tiếp theo của thương. Ta viết \(+2\) lên phía trên.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x + 2
——————–|
-x^2 + 5x – 1
-(-x^2 + 3x)
—————-
2x – 1

Bước 9: Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia.
Nhân \(2\) với \(x-3\):
\(2 (x-3) = 2 x – 2 * 3 = 2x – 6\).
Viết kết quả này xuống dưới phần dư, thẳng hàng với các hạng tử bậc tương ứng.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x + 2
——————–|
-x^2 + 5x – 1
-(-x^2 + 3x)
—————-
2x – 1
2x – 6

Bước 10: Lấy phần dư trừ đi tích vừa tìm được.
(2x – 1) – (2x – 6)
= 2x – 1 – 2x + 6
= (2x – 2x) + (-1 + 6)
= 0x + 5
= 5.
Viết kết quả này xuống dưới.

X^3 – 4x^2 + 5x – 1 | x – 3
——————–|——-
-(X^3 – 3x^2) | X^2 – x + 2
——————–|
-x^2 + 5x – 1
-(-x^2 + 3x)
—————-
2x – 1
-(2x – 6)
———-
5

Bước 11: Xác định kết quả.
Bây giờ, phần dư của chúng ta là 5. Bậc của phần dư (bậc 0) nhỏ hơn bậc của đa thức chia (bậc 1). Do đó, chúng ta dừng phép chia tại đây.
Thương của phép chia là \(X^2 – x + 2\).
Số dư của phép chia là 5.

Vậy, kết quả của phép chia là:
\( (X^3 – 4x^2 + 5x – 1) : (x-3) = X^2 – x + 2 \) dư 5.

Chúng ta có thể viết kết quả dưới dạng:
\(X^3 – 4x^2 + 5x – 1 = (x-3)(X^2 – x + 2) + 5\).

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững hơn phương pháp này nhé.