điền số tiếp theo vào dãy số : 1 2 4 8 16 31 ?
Bài toán của chúng ta là: Điền số tiếp theo vào dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 31, ?
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên những kiến thức chúng ta đã học ở lớp 8 và những quy luật có thể có.
Bước 1: Quan sát mối quan hệ giữa các số liên tiếp trong dãy.
Chúng ta hãy xem xét hiệu hoặc tỉ số giữa các cặp số liền kề nhau.
– Số hạng thứ hai (2) so với số hạng thứ nhất (1): 2 – 1 = 1. Hoặc 2 / 1 = 2.
– Số hạng thứ ba (4) so với số hạng thứ hai (2): 4 – 2 = 2. Hoặc 4 / 2 = 2.
– Số hạng thứ tư (8) so với số hạng thứ ba (4): 8 – 4 = 4. Hoặc 8 / 4 = 2.
– Số hạng thứ năm (16) so với số hạng thứ tư (8): 16 – 8 = 8. Hoặc 16 / 8 = 2.
Từ đây, chúng ta có thể thấy một quy luật ban đầu: Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai) dường như gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó. Đây là quy luật của một cấp số nhân với công bội bằng 2. Nếu quy luật này tiếp tục, số hạng tiếp theo sẽ là 16 * 2 = 32.
Bước 2: Kiểm tra quy luật với số hạng cuối cùng đã cho.
Tuy nhiên, chúng ta có một số hạng cuối cùng là 31. Nếu áp dụng quy luật gấp đôi, số hạng tiếp theo sau 16 lẽ ra phải là 32, chứ không phải 31. Điều này cho thấy quy luật cấp số nhân đơn thuần có thể không phải là quy luật duy nhất hoặc không phải là quy luật chính xác cho toàn bộ dãy số này.
Chúng ta cần xem xét một quy luật khác hoặc một quy luật phức tạp hơn. Hãy thử xem xét mối quan hệ giữa các số hạng và vị trí của chúng trong dãy, hoặc sự chênh lệch giữa các số hạng.
Bước 3: Xét lại các hiệu của các số hạng.
Chúng ta đã có các hiệu như sau:
2 – 1 = 1
4 – 2 = 2
8 – 4 = 4
16 – 8 = 8
Các hiệu này lại tạo thành một dãy số mới: 1, 2, 4, 8. Dãy hiệu này lại chính là phần đầu của dãy số gốc.
Bây giờ, chúng ta có số hạng cuối cùng là 31. Hãy xem xét hiệu giữa số hạng thứ sáu (31) và số hạng thứ năm (16):
31 – 16 = 15.
Dãy các hiệu mà chúng ta có là: 1, 2, 4, 8, 15.
Nhìn vào dãy các hiệu mới này (1, 2, 4, 8, 15), chúng ta có thể nhận thấy một quy luật mới. Hãy xem xét sự chênh lệch giữa các số trong dãy hiệu này:
2 – 1 = 1
4 – 2 = 2
8 – 4 = 4
15 – 8 = 7
Dãy chênh lệch mới là: 1, 2, 4, 7.
Vẫn chưa thấy một quy luật rõ ràng ngay.
Hãy quay lại xem xét dãy số gốc: 1, 2, 4, 8, 16, 31.
Hãy thử một cách tiếp cận khác. Chúng ta đã thấy quy luật “gấp đôi” xuất hiện ở những bước đầu.
1 * 2 = 2
2 * 2 = 4
4 * 2 = 8
8 * 2 = 16
Nếu chúng ta tiếp tục theo quy luật này, ta sẽ có 16 * 2 = 32.
Nhưng số tiếp theo trong đề bài lại là 31.
Có vẻ như có một sự điều chỉnh nào đó.
Hãy xem xét sự khác biệt giữa kết quả theo quy luật “gấp đôi” và số hạng thực tế trong dãy:
Số hạng thứ 2: 1 * 2 = 2. Số hạng thực tế là 2. (Khác biệt: 2 – 2 = 0)
Số hạng thứ 3: 2 * 2 = 4. Số hạng thực tế là 4. (Khác biệt: 4 – 4 = 0)
Số hạng thứ 4: 4 * 2 = 8. Số hạng thực tế là 8. (Khác biệt: 8 – 8 = 0)
Số hạng thứ 5: 8 * 2 = 16. Số hạng thực tế là 16. (Khác biệt: 16 – 16 = 0)
Số hạng thứ 6: 16 * 2 = 32. Số hạng thực tế là 31. (Khác biệt: 32 – 31 = 1)
Chúng ta thấy rằng, cho đến số hạng thứ 5, quy luật “gấp đôi” là đúng. Nhưng từ số hạng thứ 5 lên số hạng thứ 6, kết quả lại bị trừ đi 1.
Bước 4: Tìm ra quy luật tổng quát và áp dụng để tìm số tiếp theo.
Chúng ta có thể suy đoán rằng quy luật là “nhân đôi số hạng trước đó rồi trừ đi một giá trị nào đó”. Tuy nhiên, giá trị trừ đi lại thay đổi (0, 0, 0, 0, 1). Điều này chưa ổn.
Hãy thử một quy luật khác, mà chúng ta có thể liên hệ đến các số có dạng 2^n.
1 = 2^0
2 = 2^1
4 = 2^2
8 = 2^3
16 = 2^4
Nếu dãy chỉ là các lũy thừa của 2, thì số tiếp theo sẽ là 2^5 = 32. Nhưng số hạng thứ 6 là 31.
Có một quy luật rất hay gặp trong các bài toán dạng này, đó là sự kết hợp của phép nhân và phép cộng/trừ.
Hãy thử quy luật: Lấy số hạng trước đó, nhân với 2, rồi cộng hoặc trừ đi một số.
Chúng ta đã thấy:
1 * 2 + 0 = 2
2 * 2 + 0 = 4
4 * 2 + 0 = 8
8 * 2 + 0 = 16
Và bây giờ, ta có 16 để ra 31.
Nếu ta thử 16 * 2 – 1 = 32 – 1 = 31.
Vậy, có vẻ như quy luật của dãy số là:
– Số hạng đầu tiên là 1.
– Từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tiếp theo bằng hai lần số hạng đứng trước nó, rồi trừ đi một giá trị. Giá trị trừ đi này thay đổi.
Để tìm số tiếp theo sau 31, chúng ta cần xác định quy luật của “giá trị trừ đi”.
Chúng ta đã thấy:
Số hạng 2: 1 * 2 + 0 = 2
Số hạng 3: 2 * 2 + 0 = 4
Số hạng 4: 4 * 2 + 0 = 8
Số hạng 5: 8 * 2 + 0 = 16
Số hạng 6: 16 * 2 – 1 = 31
Đây có vẻ là một quy luật không nhất quán hoặc quá phức tạp với việc giá trị trừ đi thay đổi (0, 0, 0, 0, 1).
Chúng ta hãy quay lại việc phân tích các hiệu đã tạo thành một dãy mới.
Dãy số gốc: 1, 2, 4, 8, 16, 31
Các hiệu: 2-1=1, 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8, 31-16=15.
Dãy các hiệu là: 1, 2, 4, 8, 15.
Hãy xem xét sự chênh lệch giữa các số trong dãy hiệu:
2-1=1
4-2=2
8-4=4
15-8=7
Dãy chênh lệch này là: 1, 2, 4, 7.
Bây giờ, hãy xem xét sự chênh lệch của dãy 1, 2, 4, 7:
2-1=1
4-2=2
7-4=3
Dãy chênh lệch thứ hai là: 1, 2, 3.
Đây là một quy luật rất rõ ràng! Dãy chênh lệch thứ hai là một cấp số cộng với công sai là 1.
Điều này có nghĩa là:
– Chênh lệch tiếp theo trong dãy 1, 2, 3 sẽ là 4.
– Chênh lệch tiếp theo trong dãy 1, 2, 4, 7 sẽ là 7 + 4 = 11.
– Chênh lệch tiếp theo trong dãy hiệu 1, 2, 4, 8, 15 sẽ là 15 + 11 = 26.
– Và số hạng tiếp theo trong dãy số gốc sẽ là số hạng cuối cùng (31) cộng với chênh lệch tiếp theo này.
Vậy, số tiếp theo là 31 + 26 = 57.
Kiểm tra lại quy luật:
Số hạng thứ 1: 1
Số hạng thứ 2: 1 + 1 = 2 (Hiệu đầu tiên là 1)
Số hạng thứ 3: 2 + 2 = 4 (Hiệu thứ hai là 2, chênh lệch của hiệu là 1)
Số hạng thứ 4: 4 + 4 = 8 (Hiệu thứ ba là 4, chênh lệch của hiệu là 2)
Số hạng thứ 5: 8 + 8 = 16 (Hiệu thứ tư là 8, chênh lệch của hiệu là 4)
Số hạng thứ 6: 16 + 15 = 31 (Hiệu thứ năm là 15, chênh lệch của hiệu là 7)
Bây giờ chúng ta cần tính toán các chênh lệch một cách có hệ thống.
Giả sử số hạng thứ n là a_n.
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 4
a_4 = 8
a_5 = 16
a_6 = 31
Xét dãy hiệu:
b_1 = a_2 – a_1 = 2 – 1 = 1
b_2 = a_3 – a_2 = 4 – 2 = 2
b_3 = a_4 – a_3 = 8 – 4 = 4
b_4 = a_5 – a_4 = 16 – 8 = 8
b_5 = a_6 – a_5 = 31 – 16 = 15
Xét dãy chênh lệch thứ hai (của dãy b):
c_1 = b_2 – b_1 = 2 – 1 = 1
c_2 = b_3 – b_2 = 4 – 2 = 2
c_3 = b_4 – b_3 = 8 – 4 = 4
c_4 = b_5 – b_4 = 15 – 8 = 7
Xét dãy chênh lệch thứ ba (của dãy c):
d_1 = c_2 – c_1 = 2 – 1 = 1
d_2 = c_3 – c_2 = 4 – 2 = 2
d_3 = c_4 – c_3 = 7 – 4 = 3
Ta thấy dãy d là cấp số cộng: 1, 2, 3,… với công sai là 1.
Vậy, số hạng tiếp theo của dãy d, gọi là d_4, sẽ là:
d_4 = d_3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Bây giờ chúng ta quay ngược lại để tìm các số hạng còn lại:
Số hạng tiếp theo của dãy c, gọi là c_5, sẽ là:
c_5 = c_4 + d_4 = 7 + 4 = 11.
Số hạng tiếp theo của dãy b, gọi là b_6, sẽ là:
b_6 = b_5 + c_5 = 15 + 11 = 26.
Và cuối cùng, số hạng tiếp theo của dãy số gốc, gọi là a_7, sẽ là:
a_7 = a_6 + b_6 = 31 + 26 = 57.
Vậy, số tiếp theo trong dãy là 57.
Tổng kết lại quy luật (để hiểu rõ hơn, mặc dù không yêu cầu công thức):
Quy luật của dãy số này không phải là một công thức đơn giản như cấp số nhân hay cấp số cộng. Nó là một quy luật mà ta tìm được bằng cách xét các hiệu số và các hiệu của các hiệu cho đến khi xuất hiện một quy luật quen thuộc.
Quy luật chung của dãy số này có thể được mô tả bằng công thức sai phân bậc cao. Tuy nhiên, ở lớp 8, chúng ta thường đi theo hướng tìm quy luật của các hiệu số như chúng ta đã làm.
Đáp án: Số tiếp theo điền vào dãy số là 57.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đề là 1, 2, 4, 8, 16, 32 thì ta điền như sau:
2=1×2
4=2×2
8=4×2
16=8×2
32=16×2
Vậy 32×2=64.
Ta điền số 64.
Dễ thấy được quy luật: số 2 từ mũ 0 tăng dần lên
\(1 =2^{0} \)
\(2 = 2^{1}\)
\(4= 2^{2}\)
\(8= 2^{3}\)
\(16 = 2^{4}\)
\(32 = 2^{5}\)
vậy số tiếp theo là \(2^{6}=64\)