Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “xử lý” một bài tập hệ phương trình rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 9 của mình nhé. Đây là dạng bài mà các em thường gặp trong các bài kiểm tra và thi học kỳ đấy.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(1/x – 1/y=1\) \((1)\)

\(3/x+4/y=5\) \((2)\)

Hãy cùng thầy đi từng bước một để tìm ra lời giải chính xác và gọn gàng nhất nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Trước hết, các em cần chú ý rằng trong các phương trình của hệ có chứa các biến ở mẫu số. Do đó, chúng ta cần tìm điều kiện để các biểu thức này có nghĩa.

Các mẫu số ở đây là \(x\) và \(y\).

Vậy, điều kiện xác định của hệ phương trình là: \(x \ne 0\) và \(y \ne 0\).

Bước 2: Đặt ẩn phụ để đưa hệ về dạng cơ bản hơn.

Các em quan sát thấy trong hệ có các biểu thức \(1/x\) và \(1/y\). Đây là một dấu hiệu để chúng ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này sẽ giúp chúng ta chuyển hệ phương trình ban đầu về một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc hơn.

Đặt \(a = 1/x\) và \(b = 1/y\).

Khi đó, hệ phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(a – b = 1\) \((1′)\)

\(3a + 4b = 5\) \((2′)\)

Đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(a\) và \(b\) mà chúng ta đã học cách giải rất kỹ rồi đúng không nào?

Bước 3: Giải hệ phương trình với các ẩn phụ \(a\) và \(b\).

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế. Thầy sẽ hướng dẫn các em dùng phương pháp cộng đại số nhé, vì nó rất hiệu quả trong trường hợp này.

Để loại bỏ ẩn \(b\), chúng ta sẽ nhân phương trình \((1′)\) với 4:

\(4 \cdot (a – b) = 4 \cdot 1\)

\(4a – 4b = 4\) \((3′)\)

Bây giờ, chúng ta cộng phương trình \((3′)\) với phương trình \((2′)\):

\((4a – 4b) + (3a + 4b) = 4 + 5\)

\(7a = 9\)

\(a = 9/7\)

Tiếp theo, chúng ta thay giá trị của \(a = 9/7\) vào phương trình \((1′)\) để tìm \(b\):

\(9/7 – b = 1\)

\(b = 9/7 – 1\)

\(b = 9/7 – 7/7\)

\(b = 2/7\)

Vậy, chúng ta đã tìm được các giá trị của ẩn phụ là \(a = 9/7\) và \(b = 2/7\).

Bước 4: Thay ngược trở lại để tìm các ẩn \(x\) và \(y\).

Sau khi đã có giá trị của \(a\) và \(b\), chúng ta cần quay trở lại với các ẩn ban đầu là \(x\) và \(y\).

Vì \(a = 1/x\), mà \(a = 9/7\), nên ta có:

\(1/x = 9/7\)

\(x = 7/9\)

Vì \(b = 1/y\), mà \(b = 2/7\), nên ta có:

\(1/y = 2/7\)

\(y = 7/2\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

Các em đừng quên bước này nhé, vì nó rất quan trọng để đảm bảo nghiệm tìm được là hợp lệ.

Chúng ta tìm được \(x = 7/9\) và \(y = 7/2\).

Cả hai giá trị này đều khác 0, nên chúng thỏa mãn điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(y \ne 0\).

Vậy, cặp số \((x; y) = (7/9; 7/2)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Kết luận:

Tập nghiệm của hệ phương trình là \(\{(7/9; 7/2)\}\).

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách đặt ẩn phụ và giải từng bước cẩn thận thì sẽ không có gì khó cả. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững phương pháp này nhé!

Chúc các em học tốt!